Matrix Multiplication （利用随机化检验矩阵乘法）

You are given three n × n matrices A, B and C. Does the equation A × B = C hold true?

Input

The first line of input contains a positive integer n (n ≤ 500) followed by the the three matrices A, B and C respectively. Each matrix's description is a block of n × n integers.

It guarantees that the elements of A and B are less than 100 in absolute value and elements of C are less than 10,000,000 in absolute value.

Output

Output "YES" if the equation holds true, otherwise "NO".

Sample Input

Sample Output

YES

Hint

Multiple inputs will be tested. So O(n 3) algorithm will get TLE.

题解

题目中有明显的提示，不能直接用矩阵乘法

我们应该考虑一个时间复杂度更低的算法

我们很容易想到随机A的一行与B的一列，乘起来，计算一下乘积

但是这样的随机化的正确率很低

当数据中只有一个位置不正确时，随机T次的正确率为 $1-(1-\frac{1}{n^2})^T$ ，在n=500的情况下大概随机575645次正确率才为90%

比暴力还差。。。

我们考虑一下直接验证一行，这样随机T次的正确率为 $1-(1-\frac{1}{n})^T$ ，只要大概1150次检验，但是检验复杂度为n^2了

还是比暴力慢。。。

我们应该怎么办呢？

发现上面两种方法的本质都是一样的，只算一部分来进行检验

考虑有没有方法可以一次性检验所有的数且时间复杂度较低

我们可以把B矩阵每个点乘一个权值，再按行进行加和，得到 B' ，做A与 B' 的矩阵乘法

通过暴力计算可以算出得到的积矩阵与C矩阵的关系

即：对C进行与B相同的操作（乘权值，加和）之后，得到的矩阵C'与A*B'相等

这样我们就可以完成O（n^2）全部数的检验了

我们可以多做几次这样的检验（其实一次检验的正确率已经很高了）

代码：（为了方便，我只按列对B矩阵进行了赋权操作）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 505
#define LL long long
LL a[N][N],b[N][N],c[N][N],s[N],t[N],seed[N];
int main()
{
	srand(3993991);
	int n,i,j,tim;bool flg;
	while(~scanf("%d",&n)){
		memset(s,0,sizeof(s));memset(t,0,sizeof(t));flg=0;
		for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)scanf("%lld",&a[i][j]);
		for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)scanf("%lld",&b[i][j]);
		for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)scanf("%lld",&c[i][j]);
		for(tim=1;tim<=10;tim++){
			for(i=1;i<=n;i++)seed[i]=rand()%n+1;
			memset(s,0,sizeof(s));memset(t,0,sizeof(t));
			for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)t[i]+=1ll*b[i][j]*seed[j];
			for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)s[i]+=1ll*a[i][j]*t[j];
			for(i=1;i<=n;i++){
				LL sum=0;for(j=1;j<=n;j++)sum+=1ll*c[i][j]*seed[j];
				if(sum!=s[i]){flg=1;break;}
			}
			if(flg)break;
		}
		if(flg)printf("NO\n");
		else printf("YES\n");
	}
}