【笔记】数学常用结论

1 关于取模

1.1 指数取模 —— 扩展欧拉定理

扩展欧拉定理

\[a^b\equiv \begin{cases} a^{b\bmod\varphi(p)},\,&\gcd(a,\,p)=1&(1)\\ a^b,&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b<\varphi(p)&(2)\\ a^{b\bmod\varphi(p)+\varphi(p)},&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b\ge\varphi(p)&(3) \end{cases} \pmod p\]

特别地,如果 \(p\) 为质数,则一定有等式 \((1)\) 成立,且 \(\varphi(p)=p-1\),所以有:

(可以用于指数取模(注意这里的指数取模的是 \((p-1)\)

\[a^b\equiv a^{b\bmod(p-1)}\pmod p \]


组合数

  1. \[\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) \times k^{\underline{m}}=\left(\begin{array}{l} n-m \\ k-m \end{array}\right) \times n^{\underline{m}} \]

    「省选联考 2020 A 卷」组合数问题

  2. 初始给定第一个数为 \(1\) 其余为 \(0\) 的长度为 \(n\) 的数列,求 \(m\) 次前缀和后的第 \(k\) 项为 \(\displaystyle{k\choose m}\)


2 杂项

2.1 调和级数

\[\large\sum\limits_{i=1}^{n}\left\lfloor\frac ni\right\rfloor \approx n\ln n \]

Trick: 常用于简化时间复杂度中。


2.2 二项式定理

\[(a+b)^n=\large\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}a^ib^{n-i} \]

Trick: 通常逆应用,将 \(O(n)\) 降至 \(O(1)\)eg. 加法方案

\[\left(\large\sum\limits_{i=1}^ka_i\right)^2=\large\sum\limits_{i=1}^k a_i^2+\large\sum\limits_{i=1}^k\large\sum\limits_{j=1}^k[i\neq j]\cdot2a_ia_j \]

可用于在求


2.3 数论

\[n=\sum_{d\mid n}\varphi(d) \]


2.4 真正的杂项

\[\sum_{i=1}^n i^{\alpha}\approx O(n^{\alpha+1}) \]


posted @ 2023-10-08 16:11  CloudWings  阅读(19)  评论(0编辑  收藏  举报