有限循环群的结构及生成元的判定

群结构  
  定理1：若G为一个循环群，则G内每个满足ord(α)=s的元素α都是拥有s个元素的循环子群的生成元
  证明：
      

  定理2：若G为一个阶为n的有限循环群，g为对应的生成元，则对整除n的每个整数k，G都存在一个唯一的阶为k的循环子群H。
    这个子群是由g^n/k生成的。H是由G内满足条件α^k=1的元素组成的，且G不存在其它子群
  证明：
     

  推论：从上述两定理可知有限循环群、子群及生成元的关系如下
      
  例子：依据上述推论得如下
      

生成元判定算法
  输入：循环群G、某子群的阶k  
    1）若k=1，则直接输出e。否则转到2）
    2）随机从G-{e}中选择一元素x
    3）若x^k≠e，则转回2）。否则若k为素数，则跳到5）；若k为合数，则转到4）  
    4）遍历整除k的真因子d，若x^d=e，则转回2）    
    5）输出x