数据结构之树（Tree）(一) ：树

ps：好久没用动手写blog了，要在这条路上不断发展，就需要不停的学习，不停的思考与总结，当把写blog作为一种习惯，就是自我成长的证明，Fighting！、

一、简介

　　树是一种重要的非线性数据结构，直观地看，它是数据元素（在树中称为结点）按分支关系组织起来的结构，很象自然界中的树那样。树结构在客观世界中广泛存在，如人类社会的族谱和各种社会组织机构都可用树形象表示。树在计算机领域中也得到广泛应用，如在编译源程序如下时，可用树表示源源程序如下的语法结构。又如在数据库系统中，树型结构也是信息的重要组织形式之一。一切具有层次关系的问题都可用树来描述。

 

二、定义

　　一棵树（tree）是由n（n>0）个元素组成的有限集合，其中：

　　（1）每个元素称为结点（node）；

　　（2）有一个特定的结点，称为根结点或根（root）；

　　（3）除根结点外，其余结点被分成m（m>=0）个互不相交的有限集合，而每个子集又都是一棵树（称为原树的子树）

三、基本概念

　　度

　　　　 树的度——也即是宽度，简单地说，就是结点的分支数。

　　　　以组成该树各结点中最大的度作为该树的度，如上图的树，其度为3;

　　　　树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。

　　　　树中度不为零的结点称为分枝结点或非终端结点。

　　　　除根结点外的分枝结点统称为内部结点。

　　层次

　　　　根结点的层次为1，其他结点的层次等于它的父结点的层次数加1.

　　深度

　　　　树的深度——组成该树各结点的最大层次，如上图，其深度为4；

　　路径

　　　　对于一棵子树中的任意两个不同的结点，如果从一个结点出发，按层次自上而下沿着一个个树枝能到达另一结点，称它们之间存在着一条路径。

　　　　可用路径所经过的结点序列表示路径，路径的长度等于路径上的结点个数减1.

　　森林

　　　　指若干棵互不相交的树的集合

 

四、树形结构的逻辑特征

    　　树形结构的逻辑特征可用树中结点之间的父子关系来描述：
　　　　（1） 树中任一结点都可以有零个或多个直接后继(即孩子)结点，但至多只能有一个直接前趋(即双亲)结点。
　　　　（2） 树中只有根结点无前趋，它是开始结点；叶结点无后继，它们是终端结点。
　　　　（3） 祖先与子孙的关系是对父子关系的延拓，它定义了树中结点之间的纵向次序。
　　　　（4） 有序树中，同一组兄弟结点从左到右有长幼之分。
   　　　　　　 对这一关系加以延拓，规定若k₁和k₂是兄弟，且k₁在k₂的左边，则k_l的任一子孙都在k₂的任一子孙的左边，那么就定义了树中结点之间的横向次序。

五、树的种类

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；

• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；

  • 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；

    • 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d（d>1）。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树；

    • 满二叉树：对于上述的完全二叉树，如果去掉其第d层的所有节点，那么剩下的部分就构成一个满二叉树（此时该满二叉树的深度为d-1）；

  • 霍夫曼树：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；

  • B树