CodeChef BB Billboards 题解（LGV 引理应用）
在 https://www.cnblogs.com/ruierqwq/p/young-tableau.html 看到了这题，于是去做了一下。
题意：有一条路径上有连续排列的 \(N\) 个位置，每个位置可以放或者不放广告牌。要求每连续的 \(M\) 个位置至少有\(K\) 个放了广告牌。求满足要求，且放最少的广告牌的方案数。\(N \le 10^9, K \le M \le 50\)。
然而这题跟杨表关系不大。不过也还有意思。
首先构造出最小的一个方案，（使用贪心）不难发现如果按 \(M\) 为一行排成网格，最优方案一定是在每行的最后视需要放一些（也就是，除了最后一行外放 \(K\) 个；最后一行在横坐标 \(> M - \text{rem}\) 的位置放最多 \(K\) 个广告牌）（其中 \(\text{rem}\) 表示最后一行多余的几个空，即 \((m - (n \bmod m)) \bmod m\)）。
接下来考虑什么样的方案是最优方案。不妨把最后一行补满，此时最后一行可能有不超过 \(K\) 个固定的必须放广告牌的位置。补满后最优方案每一行都有一定有 \(K\) 个广告牌，记总共有 \(R\) 行，\(i\) 行第 \(j\) 个位置的横坐标为 \(a_{i, j}\)。则可以发现是合法方案的条件可以转写为：
这个有点像杨表，但不完全是杨表。考虑怎么计数。发现把这 \(NK\) 个数写下来，用一些平移操作（\(a_{i, j} \gets a_{i, j} - j\)）把限制写为全 \(\ge\)，就可以变为网格图不相交路径计数，可以使用 LGV 引理解决（我是不是把最细节的部分省略掉了 QwQ）。这部分其实不是特别干净，因为最后一条限制写成对应的端点可能不是那么显然，所以并不是非常好写下来；不过这类题型本身可以去找找 LGV 的博客看看，例如 Monotonic Matrix 这种题。
时间复杂度 \(O(m^3)\)。
代码实现（PyPy3 可通过）：
from typing import List
MOD = 10**9 + 7
def inv(x):
return pow(x, MOD - 2, MOD)
def comb(n, m):
if m > n or m < 0:
return 0
ans = 1
for i in range(1, m + 1):
ans = ans * (n - i + 1) * inv(i) % MOD
return ans
def determinant(mat: List[List[int]]):
n = len(mat)
ans = 1
for i in range(n):
row_pivot = -1
for j in range(i, n):
if mat[j][i] != 0:
row_pivot = j
if row_pivot == -1:
return 0
if i != row_pivot:
ans = -ans
mat[i], mat[row_pivot] = mat[row_pivot], mat[i]
ans = ans * mat[i][i] % MOD
for j in range(i + 1, n):
factor = -mat[j][i] * inv(mat[i][i]) % MOD
if mat[j][i] != 0:
for k in range(i, n):
mat[j][k] = (mat[j][k] + factor * mat[i][k]) % MOD
return ans
# print(determinant([[2, -1, 0], [-1, 2, -1], [0, -1, 2]]))
for _ in range(int(input())):
n, m, k = map(int, input().split())
if m == k:
print(1)
continue
rem = (m - n % m) % m
last_row = [-1] * k
if rem >= k:
last_row = [m + i - rem for i in range(k)]
else:
last_row = [i for i in range(k - rem)] + [m + i - rem for i in range(rem)]
last_row = [x - i for i, x in enumerate(last_row)]
# print(last_row)
max_num = m - k
row = (n + m - 1) // m
end_points = [(-1, -1)] * (max_num)
pnt = 0
for i in range(max_num):
while pnt < k and last_row[pnt] <= i:
pnt += 1
end_points[i] = row - (pnt > k - min(rem, k)), pnt
# print(end_points)
# 为了满足不交限制，平移第 i 个起点到 (max_num - 1 - i, i)
start_points = [(max_num - 1 - i, i) for i in range(max_num)]
end_points = [(x + max_num - 1 - i, y + i) for i, (x, y) in enumerate(end_points)]
mat = [[0] * (max_num) for _ in range(max_num)]
for i in range(max_num):
for j in range(max_num):
x0, y0 = start_points[i]
x1, y1 = end_points[j]
mat[i][j] = comb(x1 - x0 + y1 - y0, y1 - y0)
# print(start_points)
# print(end_points)
# print(mat)
print(determinant(mat))
