CF1917F Construct Tree 题解

题目链接：https://codeforces.com/contest/1917/problem/F

题意

有 $n$ 条长度 $l_i$ 的边，问它们是否能组成一棵 $n+1$ 个节点的树，使得树的直径长度为 $d$。$n,d\le 2000$。

题解

首先当然要存在一个边集 $D$，使得 $\sum _{i\in D}{l}_i=d$，这可以使用背包判断。但这个条件不充分，例如第二个样例 $(\{1,4,3,4\},7)$，虽然存在 $\{2,3\}$ 使 $l_2+l_3=7$，但直径的长度不小于 $8$。

考虑对于一个给定的 $D$ 如何构造这棵树。使用调整法等可证，最优的一个方案是找到直径的中点，把其它所有边都挂在中点上。因此，其余所有边的长度不能大于直径较短一侧的链长度，$D$ 可以成为直径的充要条件是：

• 存在一种划分 $D=D_1\cup D_2$，使 $\mathrm{\forall }i\notin D,l_i\le min(s_1:=\sum _{i\in D_1}{l}_i,s_2:=\sum _{i\in D_2}{l}_i)$。

考虑如何计算。将 $l_i$ 从小到大排序，枚举 $\underset{i\notin D}{max}i$，则应该满足如下条件：

• $\mathrm{\forall }j>i,j\in D$；

• $\mathrm{\exists }x\ge l_i,x=min(s_1,s_2)$。

对右侧预处理背包，计算 $Suf=\{\sum _{j>i,j\in D_1}{l}_i\}$；对左侧使用双背包，计算 $DP=\{(\sum _{j\le i,j\in D_1}{l}_i,\sum _{j\le i,j\in D_2}{l}_i)\}$。枚举 $i$，记 $s=\sum _{j>i}{l}_i$，则左侧还需要取总长度为 $d-s$ 的边。提取出 $Pre=\{t|(t,d-s-t)\in DP\}$，可行的 $s_1$ 就是位向量 $Pre$ 与 $Suf$ 的卷积。对 $\mathrm{\forall }{l}_i\le x\le {\displaystyle \frac{d}{2}}$，判断 $s_1$ 是否在卷积中即可。

时间复杂度的瓶颈在于双背包的转移和位向量卷积计算。使用 bitset 加速计算，则它们都可以在 $O({\displaystyle \frac{d^2}{w}})$ 内完成，总时间复杂度为 $O({\displaystyle \frac{n{d}^2}{w}})$。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = int64_t;
using bs = bitset<2023>;
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n, d;
    cin >> n >> d;
    vector<int> l(n);
    for (int &x : l) cin >> x;
    ranges::sort(l);
    int s = accumulate(l.begin(), l.end(), 0);
    if (s == d) return void(cout << "Yes\n");
    vector suf(n + 1, bs(1));
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        suf[i] = suf[i + 1] | (suf[i + 1] << l[i]);
    }
    bool ans = false;
    vector dp(d + 1, bs(0));
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x = l[i];
        s -= x;
        for (int s1 = d; s1 >= 0; s1--) {
            dp[s1] |= dp[s1] << x;
            if (s1 >= x) { dp[s1] |= dp[s1 - x]; }
        }
        bs vis{0}, pre{0};
        for (int j = 0; j <= d - s; j++) pre[j] = dp[j][d - s - j];
        // convolution (suf[i+1], pre)
        for (int j = 0; j <= s && j <= d / 2; j++)
            vis[j] = (pre & (suf[i + 1] >> (s - j))).any();
        for (int j = s; j <= d / 2; j++)
            vis[j] = (pre & (suf[i + 1] << (j - s))).any();
        for (int s1 = x; s1 <= d / 2; s1++) { ans |= vis[s1]; }
    }
    cout << (ans ? "Yes" : "No") << "\n";
}