CF1912J Joy of Pokémon Observation 记录

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题意简述

求方程 $\sum _{i=1}^s{l}_i{x}_i=t$ 的非负整数解的个数。

不多于 $1024$ 组用例，$t\le {10}^9,s\le 3,l_i\le 16$。

题解（官解）

赛时我光想着怎么求一般方程的解的个数了，没找到什么有用的结果，结果 $l_i\le 16$ 的条件很重要。

$s=1$ 时很显然，若 $t\equiv 0\mathrm{mod}{l}_1$，答案为 $1$，否则为 $0$。

$s=2$ 时，即求 $a\cdot i_a+b\cdot i_b=l$ 解的个数。令 $i_a=k_a\cdot b+j_a$，枚举 $j_a$，方程变形为 $k_a\cdot a+i_b={\displaystyle \frac{t-a\ast j_a}{b}}:=r$。则在右侧为整数时，需要向答案添加 $\lfloor {\displaystyle \frac{r}{a}}\rfloor +1$，因为对每个 $k_a\cdot a\le r$，都恰存在一个 $i_b$。

同理，$s=3$ 时，即求 $a\cdot i_a+b\cdot i_b+c\cdot i_c=l$ 解的个数。令 $i_a=k_a\cdot c+j_a$，$i_b=k_b\cdot c+j_b$，枚举 $j_a$，$j_b$，则方程转化为 $k_a\cdot a+k_b\cdot b+i_c={\displaystyle \frac{t-a\cdot j_a-b\cdot j_b}{b}}:=r$。若右侧为整数，即等于找到 $k_a\cdot a+k_b\cdot b\le r$ 的解的个数。

再令 $k_a=r_a\cdot b+e_a$，枚举 $e_a$，变形为 $a\cdot r_a+k_b\le \lfloor {\displaystyle \frac{r-a\cdot e_a}{b}}\rfloor :=g$。枚举 $r_a$，向答案中加入 $1+g-a\cdot r_a$。枚举 $r_a$ 的复杂度并不过关，但注意到这部分是一个等差数列，故可以 $O(1)$ 求解。

单组测试时间复杂度 $O(l^3)$。

代码实现（C++）

void solve() {
    int n, t;
    cin >> t >> n;
    if (n == 1) {
        int a;
        cin >> a;
        cout << (t % a == 0) << "\n";
    } else if (n == 2) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        i64 ans = 0;
        for (int ja = 0; ja < b && a * ja <= t; ja++) {
            if ((t - a * ja) % b == 0) {
                int r = (t - a * ja) / b;
                ans += (r / a) + 1;
            }
        }
        cout << ans << "\n";
    } else {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        i64 ans = 0;
        for (int ja = 0; ja < c && a * ja <= t; ja++) {
            for (int jb = 0; jb < c && a * ja + b * jb <= t; jb++) {
                if ((t - a * ja - b * jb) % c == 0) {
                    int r = (t - a * ja - b * jb) / c;
                    for (int ea = 0; ea < b && a * ea <= r; ea++) {
                        int g = (r - a * ea) / b;
                        int n = g / a + 1;
                        ans += (i64)(g + g - g / a * a) * n / 2 + n;
                    }
                }
            }
        }
        cout << ans << "\n";
    }
}