P4716 朱刘算法/最小树形图/有向图最小生成树 python实现
遇到了一道题，一开始以为是简单的最小生成树
做完发现一直WA，学习了一下发现是朱刘算法，整理一下笔记
P4716 最小树形图
地址：https://www.luogu.com.cn/problem/P4716
题目背景
这是一道模板题。
题目描述
给定包含 nnn 个结点， mmm 条有向边的一个图。试求一棵以结点 rrr 为根的最小树形图，并输出最小树形图每条边的权值之和，如果没有以 rrr 为根的最小树形图，输出 −1-1−1。
输入格式
第一行包含三个整数 n,m,rn,m,rn,m,r，意义同题目所述。
接下来 mmm 行，每行包含三个整数 u,v,wu,v,wu,v,w，表示图中存在一条从 uuu 指向 vvv 的权值为 www 的有向边。
输出格式
如果原图中存在以 rrr 为根的最小树形图，就输出最小树形图每条边的权值之和，否则输出 −1-1−1。
输入输出样例
输入 #1
4 6 1
1 2 3
1 3 1
4 1 2
4 2 2
3 2 1
3 4 1
输出 #1
3
输入 #2
4 6 3
1 2 3
1 3 1
4 1 2
4 2 2
3 2 1
3 4 1
输出 #2
4
输入 #3
4 6 2
1 2 3
1 3 1
4 1 2
4 2 2
3 2 1
3 4 1
输出 #3
-1
说明/提示
样例 111 解释
最小树形图中包含第 222， 555， 666 三条边，总权值为 1+1+1=31 + 1 + 1 = 31+1+1=3
样例 222 解释
最小树形图中包含第 333， 555， 666 三条边，总权值为 2+1+1=42 + 1 + 1 = 42+1+1=4
样例 333 解释
无法构成最小树形图，故输出 −1-1−1 。
数据范围
对于所有数据，1≤u,v≤n≤1001 \leq u, v \leq n \leq 1001≤u,v≤n≤100, 1≤m≤1041 \leq m \leq 10^41≤m≤104, 1≤w≤1061 \leq w \leq 10^61≤w≤106。
最小树形图
一个有向图，存在从某个点为根的，可以到达所有点的一个最小生成树，则它就是最小树形图。
简单来说，就是有向图的最小生成树
朱刘算法
为什么需要？
如果是无向图，用prim或者kruskal算法很简单
数据结构与算法笔记：最小生成树Kruskal、Prim算法与JAVA实现
但是如果是有向图，就会有一些问题
举个例子
第一行包含三个整数n,m,r,意义同题目所述。 接下来m行，每行包含三个整数u, v, w,表示图中存在一从u指向V的权值为w的有向边。 对于所有数据，1≤u,v≤n≤100,1≤m≤10^4,1≤w≤10^6。 输入： 3 4 1 1 2 8 1 3 8 2 3 4 3 2 3
图画出来大概是这样子的，如果用prim算法的话就会和点的顺序有关。可能是11，可能是12
所以我们需要一个适用于有向图的算法
算法介绍
朱刘算法只有3步，然后不断循环。
-
找到每个点的最小入边。既然是生成树，那么对于每个点来说，只要选一个权值最小的入边就可以了。
贪心思想。因为如果不是最小入边，那么它肯定不是最小树形图的一条边，考虑它是没有意义的。
-
找环。找环找的是最小入边构成的新图的环。如果没找到环，那么一棵树就已经形成了，
因为树就是没有环的图。再因为边权都是最小的，因此此时最小树形图就已经出来了，停止循环。
-
如果第2步中找到了环，那么这个环就可以缩成一个点。然后构造新图，更新边权。
示意图大致如下：
实现
class Edge:
def __init__(self, u, v, w):
self.u = u
self.v = v
self.w = w
def __str__(self):
return str(self.u) + str(self.v) + str(self.w)
def zhuliu(edges, n, m, root):
res = 0
while True:
pre = [-1]*n
visited = [-1] * n
circle = []
inderee = [INF] * n
# 寻找最小入边
inderee[root] = 0
for i in range(m):
if edges[i].u != edges[i].v and edges[i].w < inderee[edges[i].v]:
pre[edges[i].v] = edges[i].u
inderee[edges[i].v] = edges[i].w
# 有孤立点，不存在最小树形图
for i in range(n):
if i != root and inderee[i] == INF:
return -1
# 找有向h环
tn = 0 # 记录环的个数
circle = [-1] * n
for i in range(n):
res += inderee[i]
v = i
# 向前遍历找环，中止情况有：
# 1. 出现带有相同标记的点，成环
# 2. 节点属于其他环，说明进了其他环
# 3. 遍历到root了
while visited[v] != i and circle[v] == -1 and v != root:
visited[v] = i
v = pre[v]
# 如果成环了才会进下面的循环，把环内的点的circle进行标记
if v != root and circle[v] == -1:
while circle[v] != tn:
circle[v] = tn
v = pre[v]
tn += 1
# 如果没有环了，说明一定已经找到了
if tn == 0:
break
# 否则把孤立点都看作自环看待
for i in range(n):
if circle[i] == -1:
circle[i] = tn
tn += 1
# 进行缩点，把点号用环号替代
for i in range(m):
v = edges[i].v
edges[i].u = circle[edges[i].u]
edges[i].v = circle[edges[i].v]
# 如果边不属于同一个环
if edges[i].u != edges[i].v:
edges[i].w -= inderee[v]
n = tn
root = circle[root]
return res
INF = 9999999999
if __name__ == '__main__':
n, m, root = list(map(int, input().split()))
edges = []
for i in range(m):
u, v, w = list(map(int, input().split()))
# 输入的点是1开始的，-1改为0开始的
edges.append(Edge(u-1, v-1, w))
print(zhuliu(edges, n, m, root-1),end = "")
