高等数学课堂笔记
Day1
函数：
反函数
反函数和原函数单调性一致。
复合函数
内层函数在定义域内的值域必须是外层函数定义域的子集
经过有限次数的四则运算或者复合运算得到的函数，称为初等函数。
Day2
极限
数列的极限
极限的定义
何为数列？
数列是自变量取正整数的函数。
记作\(x_n=f(n)\)或\(\left\{x_n\right\}\)
何为数列的极限？
\(\forall \varepsilon>0，\exists 正数N，使N=N_\varepsilon，当n>N_\varepsilon 时，总有\)
则称为\(\left\{x_n\right\}\)收敛于a,记作：
反之，若数列无极限，则数列是发散的。
注意:数列的极限有且仅有趋近于正无穷时存在，而收敛于n=0的数列没有极限，因为极限是一种连续的过程，收敛于0的情况下，数字是离散的，不符合的，而只有到正无穷的时候，数列近似于连续。
关于证明数列极限的题目
采用分析+证明的方式：
先倒退分析，推出\(n>g(x)\),写出N的大小，然后正着推回去。
数列极限的性质
性质1：收敛数列\({x_n}\)的极限必定唯一(极限的唯一性)
如果\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=A\)，\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=B\)，则\(A=B\);
证明：
反证法，假定\(A\ne B\)，设\(A>B\),令\(\varepsilon_0=\frac{1}{2}(A-B)\),由于\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=A,\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=B\)
存在\(N_1\)，\(n>N_1\)时：
存在\(N_2\)，\(n>N_2\)时:
那么肯定存在一个\(N>max(N_2,N_1)\)，当\(n>N\)时:
去掉绝对值号
可以得到:
矛盾出现，那么\(A\ne B\)不成立，则\(x_n\)的极限必定唯一.
证明逻辑:
就是要通过绝对值的去除，来建立左右两个等式，并且对\(\varepsilon\)的赋值也是与\(A\)和\(B\)相关的\(\frac{A-B}{2}\)，只有这样才能把左右化出同样的形式，这个对\(\varepsilon\)的赋值很关键！
性质2：收敛数列必定有界(数列收敛的必要条件)
对于收敛数列\(\left\{x_n\right\}\),必定存在一个\(M\),使 $ |x_n|<M\( 证明: 若\)\left{x_n\right}\(收敛，那么\)\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a\(， 由定义:则存在\)N\(，当\)n>N\(时，\)\forall\varepsilon>0\(，\)|x_n-a|<\varepsilon\(. 我们令\)\(\varepsilon=1\)\(， 因为有绝对值不等式\)\(|x_n|-|a|<|x_n-a|\)\( 则\)\(|x_n|<|a|+\varepsilon=a+1\)$
因此对M的考虑就只需要考虑数列前N个数以及(\(a+1\))，那么:$$M=max(x_1,x_2,...,x_N,a+1)$$
\(M\)必然为一个具体的数字，因此，收敛的数列必然有界限。
推论:无界数列必定发散
性质3：极限的保序性
若\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=A\)，\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_n=B\)，且\(A>B\)，则存在正整数\(N\),使得当\(n>N\)时，有\(x_n>y_n\)
证明逻辑与性质1基本一致。
证明:
令\(\varepsilon=\frac{1}{2}(A-B)>0\)，则必然存在\(N_1\)和\(N_2\)：
当\(n>N_1\)时，有
相同地，
当\(n>N_2\)时，有
那么存在\(N>max(N_1,N_2)\),当\(n>N\)时，
推论:若\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=A\)，\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_n=B\)，存在正整数\(N\),使得当\(n>N\)时，有\(x_n>y_n\)，则\(A>B\);
与3互为逆反命题。
性质4：极限保号性
设\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=A\)且\(A>0\)，存在正整数\(N\)，当\(n>N\)时，有\(x_n>0\)
推论:
设\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=A\)，存在正整数\(N\)，当\(n>N\)时，恒有\(x_n>0\)，那么\(A>0\)
这个推论的证明可以由性质4得来:设\(y_n\)恒为\(0\)，即可推得.
极限存在准则及两个重要的极限
1.准则I 夹逼定理
如果\(\left\{x_n\right\}\)，\(\left\{y_n\right\}\)，\(\left\{z_n\right\}\)满足下列条件:
（1）\(y_n\leqslant x_n\leqslant z_n\);
（2）\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_n=\lim\limits_{m\rightarrow\infty}z_n=a\)
则数列\(\left\{x_n\right\}\),且\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a\)
2.准则II 单调有界原理
单调有界数列必定有极限
先证单调，再证有界，即可说明存在极限。
函数的极限
自变量
\(x\rightarrow\infty\) \(x\) 趋近于无穷
\(x\rightarrow+\infty\) \(x\)趋近于正无穷
\(x\rightarrow-\infty\) \(x\)趋近于负无穷
函数极限的定义
1.\(x\rightarrow \infty\)时函数极限的定义
当\(f(x)\)在\(|x|\)大于某一个正数时有定义，若\(\forall\varepsilon>0,\exist X>a,|x|>X\)时，恒有$$|f(x)-A|<\varepsilon$$
称为\(f(x)\)当\(x\rightarrow\infty\)时以A为极限，并记为
称为自变量x趋向于某个确定的数\(x_0\)时，函数\(f(x)\)的极限是\(a\),记为
函数极限的性质
性质一:若\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=a\)存在，则必定唯一(函数极限的唯一性)
证明:
反证法:
假设函数的极限不唯一，则存在：$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=a$$
那么有定义可知：
\(\exists\delta_1>0,当0<|x-x_0|<\delta_1时有，\)
\(\exists\delta_2>0,当0<|x-x_0|<\delta_2时有，\)
取\(\delta=min(\delta_1,\delta_2)\)
则上述两个式子均满足
那么可得到
但是\(a\)与\(b\)是具体的数，但\(\varepsilon\)可以变得无限小
因此推出矛盾。
假设不成立。
性质二：若\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}=a\)，则\(f(x)\)在\(x_0\)的某一去心邻域内有界.
\(因为\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=a,则f(x)在x_0的某一去心邻域内有界\)
因为\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=a\)，则对于\(\forall \varepsilon>0,\exists\delta>0,当0<|x-x_0|<\delta 时，|f(x)-a|<\varepsilon.\)
令\(\varepsilon=1\)则$$|f(x)-a|<1$$
所以
所以\(f(x)\)在\(x_0\)的某一去心邻域内有界。
