常用算法插值算法

零、写在前面

本文主要讲述三次Hermite插值和三次样条插值。

对于一维插值算法没有详细介绍，只是说明了彼此之间的区别和特点，并作出选择。

随后拓展了n维插值算法，只作为了解。

最后，由于插值算法本身的特性，其也可以用来预测。

一、作用

插值算法，预测模型。

在建模过程中，需要一定量的数据作为分析的支撑，但有时数据较少，此时便需要使用一些数学手段，模拟产生一些可靠的新数据来满足需求。

二、算法

2.1介绍

设函数在上有定义，且定义域内存在n+1个点。

若恰好穿过n+1个点，则称其为插值函数，不难发现，插值函数不唯一。

为插值节点，包含插值节点的称作插值区间，即。

求出的过程称之为插值法。

2.2详细讲述一维插值法

2.2.1runge现象（一切问题的本源）

runge现象，是指高次插值函数在边界部分会出现震荡现象，其原因是次数太高会放大误差。

2.2.2插值法的分类

拉格朗日插值，牛顿插值，分段插值，埃尔米特插值(Hermite)，分段三次埃尔米特插值，三次样条插值。

2.2.3插值法的选择

其中建模过程中常用的是分段三次埃尔米特插值和三次样条插值。

Q：这时候就有人要问了，作者作者，为什么是这样啊？

A：首先，所有的高次插值函数都会发生runge现象，这样大规模的震荡是我们不希望看到的。

Q：哪些插值法会发生runge现象？

A：拉格朗日，牛顿，埃尔米特都会发生runge现象，因为他们本质是多项式插值函数，都是高次的，这三个插值法的表达式和原理我这里不展开讲，因为用不上。

Q：那么怎么避免发生runge现象？

A：runge现象发生在边界，边界越宽，震荡幅度越大，那么我们把边界变小，那就是分段插值了，与其说分段插值是插值法，更不如说是一种思想，就是把插值区间切成很多小段，大幅度缓解runge现象，然后在这些小段上放上合适的函数。所以分段插值是解决runge现象的一个好办法。

Q：为什么只有分段的埃尔米特插值（即分段三次埃尔米特插值），没有分段拉格朗日插值和分段牛顿插值？

A：事实上也有分段拉格朗日插值和分段牛顿插值，但是为什么不说，本质上是这俩插值是不够完美的。因为拉格朗日插值和牛顿插值是源于函数值的，就是零阶导数，这两个插值法只关注零阶导数，但对变化趋势，即一阶导数是欠缺考虑的。而埃尔米特插值法受到了零阶导数和一阶导数的约束，如此得到的插值函数是保留被插值函数的性态（可以肤浅的理解为一阶导数）的，更接近完美，当然不是完美本身。所以我们在建模过程中会使用分段三次埃尔米特插值。

Q：什么是三次样条插值？

A：是分段三次埃尔米特插值+在插值区间上二阶连续可微，其本质是三次多项式。由于多加了一个二阶连续可微的条件，所以三次样条插值是比分段三次埃尔米特插值更接近完美的存在。

S：总结

客观出现runge现象，为了缓解runge现象，我们提出使用分段插值，分段插值具体要和哪个插值法结合，为了保留被插值函数的性态，我们使用埃尔米特插值，因为它保留了被插值函数的一阶导数。

三、代码

3.1分段三次埃尔米特插值

%MATLAB内置函数
%分段三次Hermite插值多项式PCHIP

p = pchip(x,y,new_x)
%x已知样本点的横坐标  y已知样本点的纵坐标 new_x要插入处对应的横坐标

%eg:
x = -pi:pi;%不写步长默认1为步长，所以，-pi:pi=-pi:1:pi
y =  sin(x);
new_x = -pi:0.1:pi;  %0.1是步长
p = pchip(x,y,new_x);
plot(x,y,'o',new_x,p,'r-')

3.2三次样条插值

%MATLAB内置函数
%三次样条插值spline
p = spline(x,y,new_x)
%x已知样本点的横坐标  y已知样本点的纵坐标 new_x要插入处对应的横坐标

%eg:
x = -pi:pi;%不写步长默认1为步长，所以，-pi:pi=-pi:1:pi
y =  sin(x);
new_x = -pi:0.1:pi;  %0.1是步长
p = spline(x,y,new_x);
plot(x,y,'o',new_x,p,'r-')

四、拓展：n维插值算法（了解）

4.1代码

p =  interpn(x1,x2,...,xn,y,new_x1,new_x2,...,new_xn,'methond')
%x1,x2,...,xn是已知样本点的横坐标
%y是已知的样本点的纵坐标
%new_x1,new_x2,...,new_xn是要插入点的横坐标
%method是待选择的插值方法
%linear线性插值，默认选项
%cubic三次插值
%spline三次样条插值（最优选）
%nearest最邻近插值

五、用于预测（创新）

前面在“一、作用”处提到过插值算法是用来模拟产生一些可靠的新数据来满足需求的，其实也就是预测嘛。
事实上，三次样条插值算法比灰色预测在理论上更完美。

% 人口预测
population=[133126,133770,134413,135069,135738,136427,137122,137866,138639, 139538];
year = 2009:2018;
p1 = pchip(year, population, 2019:2021)  %分段三次埃尔米特插值预测
p2 = spline(year, population, 2019:2021) %三次样条插值预测
figure;
plot(year, population,'o',2019:2021,p1,'r*-',2019:2021,p2,'bx-')
legend('样本点','三次埃尔米特插值预测','三次样条插值预测','Location','SouthEast')