2022.11.23

今天被组的题撅爆力（悲）

P5390

交了个暴力爆零力。
后来才发现在暴力前打的正解假了一部分。
我们把每一位拆开来讨论然后排列组合一下就好了。
然后我们会发现我们需要求 \(n\) 个 \(1\) 中选奇数个数的 \(1\) 的方案数。
让我们来干一件事：求一下选奇数个数的 \(1\) 的方案数与选偶数个数的 \(1\) 的方案数的差。
也就是这个：

\[\large\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_n^i \]

这是偶数减奇数的情况。
然后让我们掏出一个东西。
\(\left\lceil \text{二项式定理} \right\rfloor\)

它长这样：

\[\large(a+b)^n = \sum_{i=0}^n C_n^ia^{n-i}b^{i} \]

那么非常好，我们让 \(a=1,b=-1\)，就是上面的差值了。

所以 \(\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_n^i=(1-1)^n=0\)。
所以 \(n\) 个 \(1\) 里选奇数个数的 \(1\) 的方案数就是 \(2^{n-1}\)。

于是就完事了。