整除分块（非得五个字才能发，括号里都是凑字数的）

整除分块用于解决形如
${\sum }_{i=1}^n\lfloor n/i\rfloor$
的问题。

暴力解决的话复杂度为$O(N)$，整出分块后复杂度可以降低到$O(\sqrt{N})$

暴力打表可以看到的是，其中有一些连续的区间的$\lfloor n/i\rfloor$的值是相同的，呈现一个块状的分布，因此如果找出这些块并且按照块来计算的话，复杂度可以得到下降。

$[x,\lfloor n/\lfloor n/x\rfloor \rfloor ]$这个区间内的$\lfloor n/i\rfloor$的值是相同的，$i$是区间内任意一个整数。

证明：

$\lfloor n/i\rfloor =k$等同于$①k\times i+p=n,1\le p<i$，若$\lfloor n/(i+d)\rfloor =k$，就有$②k\times (i+d)+p^{\prime }=n$，$②-①$变形得$p^{\prime }=p-k\times d$，其中$③d$取最大值为$\lfloor p/k\rfloor$
就有$i^{\prime }=i+d_{max}=i+\lfloor p/k\rfloor$，其中$p=n\%i=n-\lfloor n/i\rfloor \times i$，$k=\lfloor n/i\rfloor =\lfloor n/(i+d)\rfloor$，带入得如下：

$=i+\frac{\lfloor (n-\lfloor n/i\rfloor \times i)\rfloor }{\lfloor n/i\rfloor }$

$=\lfloor i+\lfloor \frac{n-\lfloor n/i\rfloor \times i}{\lfloor n/i\rfloor }\rfloor \rfloor$

$=\lfloor \frac{i\times \lfloor n/i\rfloor +n-\lfloor n/i\rfloor \times i}{\lfloor n/i\rfloor }\rfloor$

$=\lfloor \frac{n}{\lfloor n/i\rfloor }\rfloor$

即得到了最大的和它相等的值就是下面这个

$\lfloor \frac{n}{\lfloor n/i\rfloor }\rfloor$

补充：
③证明

$p^{\prime }$是余数，所以$p^{\prime }\ge 0$，若$d_{max}=y>\lfloor \frac{p}{k}\rfloor$，则$p^{\prime }=p-k\times d_{max}<0$，与$p^{\prime }\ge 0$矛盾，因此$d_{max}$最大值不会大于$\lfloor \frac{p}{k}\rfloor$，而d=$\lfloor \frac{p}{k}\rfloor$时满足条件，因此$\lfloor \frac{p}{k}\rfloor$是最大值。#