浅谈v_DCC缩点

之前有提到过e_DCC缩点，是求出边双连通分量，将每个边双连通分量看作一个点，桥为边，构建新图，v_DCC缩点更复杂一点。

e_DCC中，每个边只会属于一个e_DCC，且桥不会属于任何e_DCC。但是v_DCC就有点不同了，v_DCC中， 割点可能属于多个v_DCC 。OK，那就还是先求割点呗。

求割点，那就tarjan呗，但是有两点要注意
  1、如果一个点孤立（没有边相连），它是割点
  2、如果tarjan过程中发现当前搜索树的根节点满足判定式 $dfn[x]\leq low[x]$ ，它也不一定是割点，它需要有至少两个子节点才行

求点双连通分量就是在求割点基础上加一丢丢操作（有学过有向图强连通分量的tarjan求法的会感觉很相似），多了一个栈，在tarjan求搜索树的过程中，第一次访问到某个点时，将点入栈，当满足割点判定式 $dfn[x] \leq low[y]$ ，就将栈中元素依次弹出，知道弹出的元素式$y$的时候，终止弹出即可，然后这些被弹出的点就构成了一个v_DCC。但是，不能像求强连通分量一样，用一个数组记录每个点属于哪个强连通分量，因为割点可能属于多个v_DCC，因此改为，用一个向量($vector$)，其中$vector[i]$表示第$i$个v_DCC中所有的点，这样就可以将割点放到多个v_DCC中。

如果你还想求每一个点（非割点）属于哪个v_DCC，可以tarjan过程中仿照强连通分量的做法，将每一个被弹出的点直接施加标记，或者在求完所有的v_DCC后，遍历所有的v_DCC，然后施加标记（推荐第二种）

就剩下建图了呗，那就建图呗。e_DCC种建图是以桥为边，连接不同的e_DCC，v_DCC中又与他不同了。在v_DCC中，我们现在求得了所有的割点和v_DCC，假设有$p$个割点，$k$个v_DCC，那么新图中就有这么$p+k$个点，然后在每个割点与它所在的v_DCC之间连边（可能属于多个v_DCC），就得到了新图。

// 求割点
#include <bits/stdc++.h>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof a)
using namespace std;
const int N = 310;
int head[N], nex[N], to[N], cnt;
int new_id[N], id;
int head1[N], nex1[N], to1[N], cnt1;
int dfn[N], low[N], num;
bool cut[N];
int root;
int st[N], top;
int v_DCC[N], dcc;
vector<int > vec[N];
int n, m;
void init() {
	cnt = 0, num = 0, top = 0, dcc = 0, id = 0;
	mem(head, 0), mem(nex, 0), mem(dfn, 0), mem(low, 0), mem(cut, 0), mem(v_DCC, 0);
	mem(head1, 0), mem(nex1, 0), mem(new_id, 0), cnt1 = 0, id = 0;
	for (int i = 0; i < N; i++)vec[i].clear();
}
void add(int a, int b) {
	++cnt;
	to[cnt] = b;
	nex[cnt] = head[a];
	head[a] = cnt;
}
void add1(int a, int b) {
	++cnt1;
	to1[cnt1] = b;
	nex1[cnt1] = head1[a];
	head1[a] = cnt1;
}
void tarjan(int x) {
	dfn[x] = low[x] = ++num;
	int f = 0;
	st[++top] = x;
	if (head[x] == 0 && x == root) {
		cut[x] = 1;
		v_DCC[x] = ++dcc;
		return;
	}
	for (int i = head[x]; i; i = nex[i]) {
		int y = to[i];
		if (!dfn[y]) {
			tarjan(y);
			low[x] = min(low[x], low[y]);
			if (dfn[x] <= low[y]) {
				// 有可能是割点
				f++;
				if (x != root || f > 1) {
					// 如果是根节点，需要有至少两个子节点
					cut[x] = 1;
				}
				++dcc;
				while (1) {
					int t = st[top--];
//					v_DCC[t] = dcc;// 不能这样写，因为一个割点可能属于多个点双连通分量
					vec[dcc].push_back(t);
					if (t == y)break;
				}
			}
			else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
		}
	}
}
/*
v_DCC缩点：
	设图中有p个割点，k个点双连通分量，那么新图中应该有p+k割点

	将每个割点与它所在的点双连通分量连边，就得到了新图
*/
void rebuild() {
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (cut[i]) {
			new_id[i] = ++id;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= dcc; i++) {
		// 遍历所有的点双连通分量
		for (int j : vec[i]) {
			if (cut[j]) {
				add1(new_id[j] + dcc, i);
				add1(i, new_id[j] + dcc);
			}
			else v_DCC[j] = i;// 非割点的点所属的点双连通分量
		}
	}
}
int main()
{
	init();
	cin >> n >> m;
	while (m--) {
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		add(a, b), add(b, a);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (!dfn[i]) {
			root = i;
			tarjan(i);
		}
	}
	rebuild();
	return 0;
}