DFT的补0运算

在实际的DFT中，如果需要增加采样的密度。这里的采样是频域的采样。可以等到更加密集的谱。

如对于信号 x = [1, 1, 1, 1]做DFT如下图：

不零后的DFT， N = 8, N= 16, N= 32

 

结论：补零就是将原序列后增加0，使原序列增长。使DFT有更高密度的谱，但是没有给出一个更高分辨率的谱。因为没有任何新的信息附加到这个信号上,而仅仅是在数据添加额外的0， 为了要得到更高的分辨率的谱就必须获得更多的有效数。

 

 

为了证明结论：

xn = cos(0.48pi * n) + cos(0.52pi * n), 在n = [0: 10]加90个零的频谱，和直接n= [0:100]的频谱比较。在没有做DFT前，可以知道xn的频谱是两个脉冲。且脉冲的位置在0.48pi和0.52pi。

 

 

%corn 2014.11.13

clear; clc;

N = 10;
n = 0 : N;

x = cos(0.48 * pi * n) + cos(0.52 * pi * n);

k = 0 : N;
Wn = exp(-j* 2* pi / N);
nk = n' * k;
Wnnk = Wn .^ nk;

Xk = x * Wnnk;
magxk = abs(Xk);
subplot(3,1,1);
stem(n, magxk);
title('N = 10');

N = 100;
n = 0 : 100;

x = cos(0.48 * pi * n) + cos(0.52 * pi * n);

k = 0 : N;
Wn = exp(-j* 2* pi / N);
nk = n' * k;
Wnnk = Wn .^ nk;
x= [ x(1:1:11) zeros(1,90)]; %add 90 of 0
Xk = x * Wnnk;
magxk = abs(Xk);
subplot(3,1,2);
stem(n, magxk);
title('N = 10 and add 90 of 0');

 

x = cos(0.48 * pi * n) + cos(0.52 * pi * n);
Xk = x * Wnnk;
magxk = abs(Xk);
subplot(3,1,3);
plot(n, magxk);
title('N = 100');

 

 

可以明显的看出：在N=10，时和N= 100时的DFT是有明显差异的，这表明：N=10即频域的采样分辨率是2*pi/ 10 比 N = 100， 2*pi/ 100 有更多的混叠。而增加0只是增加了密度使之更平滑。如下图使用plot的频谱图。

 比如最后在N = 100时再增加100个零它们的效果如下：

 

到此就可以知道：在原序列后加0，并没有得到更多的谱的信息，而是使相应的谱更加平滑。