bzoj 3505 [Cqoi2014]数三角形 容斥原理+数学

题面

题目传送门

解法

直接求三角形个数似乎并不好求

那么我们不妨考虑补集转化，即\(ans={nm\choose3}\)-三点共线的个数

三点共线分别为在行上，在列上，以及斜着的

斜着的只要枚举斜率是什么，然后就很好求了

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
template <typename node> void read(node &x) {
	x = 0; int f = 1; char c = getchar();
	while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); x *= f;
}
int gcd(int x, int y) {
	if (y == 0) return x;
	return gcd(y, x % y);
}
main() {
	int n, m; read(n), read(m); n++, m++;
	int s = n * m, ans = 1ll * s * (s - 1) * (s - 2) / 6;
	if (n >= 3) ans -= m * n * (n - 1) * (n - 2) / 6;
	if (m >= 3) ans -= n * m * (m - 1) * (m - 2) / 6;
	for (int i = 1; i < n; i++)
		for (int j = 1; j < m; j++)
			ans -= 2 * (n - i) * (m - j) * (gcd(i, j) - 1);
	cout << ans << "\n";
	return 0;
}