DTOJ 2022.12.24 测试题解

（2023 省选模拟 Round #1）

测试成果 50+0+0

太菜了）

A 御神体

这题写了四个多小时，最后还是没写出来ww

莫队一直写挂（不过对莫队的理解加深了很多

题目链接

DTOJ P4346

题目大意

计算出下面这个式子的值， $q$ 个询问
（ $85 %$ 数据， $n, m \leq 10^{5}, q \leq 10^{5}$ ， $15 %$ 数据， $n, m \leq 10^{6}, q \leq 10^{4}$ ）

(\sum_{i = 0}^{n_{i}} \sum_{j = 0}^{m_{i}} (\binom{i}{j}) [i + j \equiv 0 (\mod 2)]) mod 998244353

题解

首先我观察到 $n = m$ 很好做，答案即为 $2^{n}$ 可惜没部分分

接着我注意到 $[i + j \equiv 0 (\mod 2)] = \frac{1}{2} (1 + (- 1)^{i + j})$

于是式子就可以拆成两部分做

\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} (\binom{i}{j}) [i + j \equiv 0 (\mod 2)] \\ = & \frac{1}{2} (\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} (\binom{i}{j}) + (- 1)^{i + j} (\binom{i}{j})) \\ = & \frac{1}{2} (\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} (\binom{i}{j}) + \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} \sum_{j = 0}^{m} (- 1)^{j} (\binom{i}{j})) \\ = & \frac{1}{2} (\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} (\binom{i}{j}) + \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i} (- 1)^{m} (\binom{i - 1}{m}) + 1) \\ = & \frac{1}{2} (\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} (\binom{i}{j}) - (- 1)^{m} \sum_{i = 0}^{n - 1} (- 1)^{i} (\binom{i}{m}) + 1) \end{aligned}

注意这边用到了一个组合数小公式

组合数小结论 1

\sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{k}{i}) = {\begin{cases} (- 1)^{n} (\binom{k - 1}{n}) (k > 0) \\ 1 (k = 0) \end{cases}

因为没注意到 $k = 0$ 所以推错了（还是太菜了ww

证明：

需要一些基本的组合数公式和求和号化简方法（

大家做组合数式子的时候可以画出杨辉三角，比较直观

要小心 $(\binom{n}{m}) = (\binom{n - 1}{m - 1}) + (\binom{n - 1}{m})$ 要满足 $m \geq 0$

\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{k}{i}) \\ = & (\binom{k - 1}{0}) + \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i} ((\binom{k - 1}{i - 1}) + (\binom{k - 1}{i})) \\ = & \sum_{i = 0}^{n - 1} (- 1)^{i + 1} (\binom{k - 1}{i}) + \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{k - 1}{i}) \\ = & (- 1)^{n} (\binom{k - 1}{n}) \end{aligned}

第一部分——求组合数之和

也就是求 $\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} (\binom{i}{j})$

我们发现之前做过一题类似的洛谷 P5388 [Cnoi2019]最终幻想

就是说组合数的一行的前缀和可以递推

记一行 $r o w_{n, m} = \sum_{i = 0}^{m} (\binom{n}{i})$

$r o w_{n, m} \to r o w_{n, m + 1}$ 是简单的，只需要加一个 $(\binom{n}{m + 1})$

$r o w_{n, m} \to r o w_{n + 1, m}$ 也不难，画出杨辉三角可以直观地看到 $r o w_{n + 1, m} = 2 r o w_{n, m} - (\binom{n}{m})$

（用 $(\binom{n}{m}) = (\binom{n - 1}{m - 1}) + (\binom{n - 1}{m})$ 这个推）

我们来同理做做一列：

\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{n} (\binom{i}{m}) \\ = & \sum_{i = 0}^{n} ((\binom{i - 1}{m}) + (\binom{i - 1}{m - 1})) \\ = & \sum_{i = 0}^{n} (\binom{i - 1}{m}) + \sum_{i = 0}^{n} (\binom{i - 1}{m - 1}) \\ = & \sum_{i = 0}^{n - 1} (\binom{i}{m}) + \sum_{i = 0}^{n - 1} (\binom{i}{m - 1}) \\ ∴ (\binom{n}{m}) = & \sum_{i = 0}^{n - 1} (\binom{i}{m - 1}) \\ (\binom{n}{m}) + (\binom{n}{m - 1}) = & \sum_{i = 0}^{n} (\binom{i}{m - 1}) \\ \sum_{i = 0}^{n} (\binom{i}{m}) = & (\binom{n}{m + 1}) + (\binom{n}{m}) = (\binom{n + 1}{m + 1}) \end{aligned}

他甚至可以用一个组合数表示

组合数小结论 2

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{i}{m}) = (\binom{n + 1}{m + 1})

于是我们用莫队就可以以 $O (q \sqrt{m})$ 回答第一部分的询问

第二部分——求组合数一列的交错和

要求这个 $\sum_{i = 0}^{n - 1} (- 1)^{i} (\binom{i}{m})$ 这个长得和蔼可亲的式子

我们记 $H_{n, m} = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{i}{m})$

首先 $H_{n, m} \to H_{n + 1, m}$ 跟之前那样只是改了求和上标，只需加上 $(- 1)^{n + 1} (\binom{n + 1}{m})$

$H_{n, m} \to H_{n, m + 1}$ 我们仿照之前推一列组合数的和的式子：

\begin{aligned} H_{n, m + 1} = & \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{i}{m + 1}) \\ = & \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{i - 1}{m + 1}) + \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{i - 1}{m}) \\ = & \sum_{i = 0}^{n - 1} (- 1)^{i + 1} (\binom{i}{m + 1}) + \sum_{i = 0}^{n - 1} (- 1)^{i + 1} (\binom{i}{m}) \\ = & - \sum_{i = 0}^{n - 1} (- 1)^{i} (\binom{i}{m + 1}) - \sum_{i = 0}^{n - 1} (- 1)^{i} (\binom{i}{m}) \\ = & - H_{n, m + 1} + (- 1)^{n} (\binom{n}{m + 1}) - H_{n, m} + (- 1)^{n} (\binom{n}{m}) \\ 2 H_{n, m + 1} = & (- 1)^{n} (\binom{n}{m + 1}) - H_{n, m} + (- 1)^{n} (\binom{n}{m}) \end{aligned}

这就可以递推了

莫队

注意到可以不需要做 m-- 的操作，毕竟对 $n = m$ 的答案可以直接出来

莫队之前一直没理解，之后看了这个动图就懂了，我觉得脑子里有这样的图就很直观了

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e6+5, M = 1e5+5, P = 998244353, fL = 3e3, inv2 = (P+1)>>1;
int fc[N],fci[N],pw2[N]; // 阶乘，阶乘逆元，2的幂
int ksm(int a, int b) { int res=1; for(; b; b>>=1,a=(ll)a*a%P) if(b&1) res=(ll)a*res%P; return res; } 
struct Ayaka { int n,m,ans,id; } rq[M]; // 存每次询问
int C(int n, int m)
{
	if(n<0 or m<0 or n<m) return 0;
	return (ll)fc[n]*fci[m]%P*fci[n-m]%P;
}
inline int pown1(int a) { return (a&1)?-1:1; } // -1 的幂
struct Kurumi
{
	int sum,h,row,col;
	int n,m;
	int query() { return (0ll+sum+1-pown1(m)*h+P)*inv2%P; } //答案可以拆成 sum 和 h 两部分
	void change_n(int d) // d=1/-1 表示加入/删去一行
	{
		if(d<0) sum=(sum-row+P)%P; // 从 sum 删去一行
		if(d>0) row=(2ll*row-C(n,m)+P)%P; // 如上述更新一行
		else row=(ll)(row+C(n-1,m))*inv2%P; // 这个就是上面的式子反过来
		if(d>0) sum=(sum+row)%P; // 往 sum 加入一行
		if(d>0) h=(0ll+h+pown1(n)*C(n,m)+P)%P; // 更新 h
		else h=(0ll+h-pown1(n-1)*C(n-1,m)+P)%P; // 这个就是上面的式子反过来
		n+=d; col=C(n+1,m+1); // 上述结论
	}
	void change_m()
	{
		row=(row+C(n,m+1))%P; col=C(n+1,m+2); sum=(sum+col)%P;
		h=((0ll-h+pown1(n-1)*(C(n-1,m)+C(n-1,m+1)))%P+P)*inv2%P;
		m++;
	}
};
signed main()
{
	fc[0]=1; for(int i=1; i<N; i++) fc[i]=(ll)fc[i-1]*i%P;
	fci[N-1]=ksm(fc[N-1],P-2); for(int i=N-1; i; i--) fci[i-1]=(ll)fci[i]*i%P;
	pw2[0]=1; for(int i=1; i<N; i++) pw2[i]=(pw2[i-1]<<1)%P; // 预处理
	int q; scanf("%d",&q);
	for(int i=1; i<=q; i++) scanf("%d%d",&rq[i].n,&rq[i].m),rq[i].id=i;
	sort(rq+1,rq+q+1, [&] (const Ayaka &a, const Ayaka &b) { if(a.n/fL!=b.n/fL) return a.n<b.n; return a.m<b.m; }); // 莫队分块
	for(int l=1,r; l<=q; l=r+1)
	{
		r=l; while(r<q and rq[r+1].m>=rq[r].m) r++; // 这边记得是 >= 不然会 tle
		int tmp=rq[l].m; Kurumi cur={pw2[tmp+1]-1,0,pw2[tmp],1,tmp,tmp}; // n=m 初始情况
		for(int i=l; i<=r; i++)
		{
			while(cur.m<rq[i].m) cur.change_m();
			while(cur.n<rq[i].n) cur.change_n(1);
			while(cur.n>rq[i].n) cur.change_n(-1);
			rq[i].ans=cur.query();
		}
	}
	sort(rq+1,rq+q+1, [&] (const Ayaka &a, const Ayaka &b) { return a.id<b.id; }); 
	for(int i=1; i<=q; i++) printf("%d\n",rq[i].ans); 
	return 0;
}

posted @ 2022-12-24 17:53 copper_carbonate 阅读(109) 评论(1) 编辑收藏举报

刷新页面返回顶部

登录后才能查看或发表评论，立即登录或者逛逛博客园首页

相关博文：

· DTOJ-2023-01-02-测试-题解

· 组合数学专题

· 组合数学总结

· 计数杂谈（未填坑）

· luogu P4705 玩游戏

阅读排行：
· 阿里最新开源QwQ-32B，效果媲美deepseek-r1满血版，部署成本又又又降低了！
· 单线程的Redis速度为什么快？
· SQL Server 2025 AI相关能力初探
· AI编程工具终极对决：字节Trae VS Cursor，谁才是开发者新宠？
· 展开说说关于C#中ORM框架的用法！

公告

昵称： copper_carbonate
园龄： 2年3个月
粉丝： 4
关注： 0

+加关注

2025年3月

日

一

二

三

四

五

六

copper-carbonate

DTOJ 2022.12.24 测试题解

A 御神体

题目链接

题目大意

题解

组合数小结论 1

第一部分——求组合数之和

组合数小结论 2

第二部分——求组合数一列的交错和

莫队

代码

公告

搜索

常用链接

我的标签

随笔分类

随笔档案

相册

阅读排行榜

评论排行榜

推荐排行榜

最新评论