DTOJ-2537-J友-题解

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题目大意

求 \((0,0)\) 到 \((x,y)\) 走 \(n\) 步的方案数，对 \(P\) 取模（每步上下左右 \(1\) 格）

（\(x,y,n\le 10^6\)，不保证 \(P\) 质数）

题解

法一

可以设向左的步数为 \(i\) 则向右的步数为 \(x+i\)

同理设向下的步数为 \(j\) 则向上的步数为 \(y+j\)

我们有 \(x+2i+y+2j=n\)

于是 \(j=\frac{n-x-y}{2}-i\)

方案数相当于一个多重集排列

多重集排列公式： \(\displaystyle\frac{n!}{m_1!m_2!\dots m_k!}\)

枚举 \(i\)，得方案数

\[\begin{align*} &\sum_i\frac{n!}{i!(x+i)!j!(y+j)!}\\ =&\sum_i\frac{n!}{i!(x+i)!(\frac{n-x-y}{2}-i)!(\frac{n-x+y}{2}-i)!}\\ \end{align*} \]

注意到这个时候因为没有逆元不能直接做

我们继续推

\[\begin{align*} &\sum_i\frac{n!}{i!(x+i)!(\frac{n-x-y}{2}-i)!(\frac{n-x+y}{2}-i)!}\\ =&\sum_i\frac{\binom{(n-x-y)/{2}}{i}\binom{(n+x+y)/{2}}{x+i}n!}{((n-x-y)/2)!((n+x+y)/{2})!}\\ =&\binom{n}{(n+x+y)/{2}}\sum_i \binom{(n-x-y)/{2}}{i}\binom{(n+x+y)/{2}}{x+i} \end{align*} \]

这边需要用到个小公式

范德蒙德卷积：

\(\displaystyle{\sum_i{\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}}=\binom{n+m}{k}}\)

组合意义：从 \(n+m\) 选 \(k\) 个，可以枚举在 \(n\) 个中选择 \(i\) 个，则 \(m\) 个中就选择 \(k-i\) 个

也就是说

\[\begin{align*} &\binom{n}{(n+x+y)/{2}}\sum_i \binom{(n-x-y)/{2}}{i}\binom{(n+x+y)/{2}}{x+i}\\ =&\binom{n}{(n+x+y)/{2}}\sum_i \binom{(n-x-y)/{2}}{i}\binom{(n+x+y)/{2}}{(n-x+y)/{2}-i}\\ =&\binom{n}{(n+x+y)/{2}}\binom{n}{(n-x+y)/2} \end{align*} \]

处理非质数模数的方法：

预处理所有数质因数分解，组合数直接处理每个指数幂

法二

坐标系转化

一个常见套路：

\((x,y)\rightarrow (x+y,x-y)\)

\((0,\pm1)\rightarrow(\pm1,\mp1)\)

\((\pm1,0)\rightarrow(\pm1,\pm1)\)

于是走 \(n\) 步可以拆成两个独立的方向，每个方向走 \(n\) 步

答案就可以直接出来是 \(\displaystyle{\binom{n}{(n+x+y)/{2}}\binom{n}{(n-x+y)/2}}\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fs first
#define sc second
using namespace std;
const int N = 1e6+5;
int n,P,x,y;
map<int,int> a[N];
int qpw(int a, int b)
{
	int res=1;
	for(; b; b>>=1,a=(ll)a*a%P) if(b&1) res=(ll)a*res%P;
	return res;
}
int work(int m)
{
//	printf("m=%d\n",m);
	if(m<0 or n<m) return 0;
	map<int,int> res;
	for(int i=n; i>=(n-m+1); i--)
	{
		for(auto v:a[i])
		{
			if(res.count(v.fs)) res[v.fs]+=v.sc;
			else res.insert(v);
		}
	}
	for(int i=1; i<=m; i++)
	{
		for(auto v:a[i])
		{
			assert(res.count(v.fs)); 
			res[v.fs]-=v.sc;
		}
	}
	int ans=1;
	for(auto v:res) ans=(ll)ans*qpw(v.fs,v.sc)%P;
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&n,&P,&x,&y);
	for(int i=2; i<=n; i++)
	{
		if(!a[i].size())
		{
			a[i].insert({i,1});
			for(int j=(i<<1); j<=n; j+=i)
			{
				int t=0;
				for(int u=i; u<=j; u*=i,t++) if(j%u) break;
				a[j].insert({i,t});
			}
		}
	}
//	for(int i=2; i<=n; i++) { for(auto v:a[i]) printf("(%d %d)",v.fs,v.sc); puts(""); }
	int A=n+x-y;
	if(A<0 or A&1) { puts("0"); return 0; }
	A>>=1; int B=A+y;
	int res=(ll)work(A)*work(B)%P;
	return !printf("%d\n",res);
}