prufer序列-学习笔记

引入

一个小知识，稍微学一下

其实 prufer 序列就是一种将带标号的树用一个唯一的整数序列表示的方法.

（小知识 prüfer 是德语，所以应该读作/代码里应该写作 pruefer）

定义

每次选择一个编号最小的叶结点并删掉它，然后在序列中记录下它连接到的那个结点。重复 $n-2$ 次后就只剩下两个结点

終わった！很简单的啦（

小性质

1. 是一个双射（一一对应）
2. 在构造完 prufer 序列后原树中会剩下两个结点，其中一个一定是编号最大的点
3. 每个结点在序列中出现的次数是其度数减 $1$（没有出现的就是叶结点）

代码

代码也很好实现（看代码就看得懂吧，反正博客是给自己看的（bushi）（代码的题目链接）

这个是 $O(n\log n)$ 的做法，有 $O(n)$ 的做法，可惜我不会.

int n,m;
int fa[N],pf[N],deg[N];
void t_to_p() //父亲序列转 prufer 序列
{
	int cnt=0;
	for(int i=1; i<n; i++) deg[fa[i]]++; //记录节点的度
	priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q; //用堆维护
	for(int i=1; i<=n; i++) if(deg[i]==0) q.push(i);
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.top(); q.pop();
		pf[++cnt]=fa[u]; deg[fa[u]]--; if(deg[fa[u]]==0) q.push(fa[u]);
	} //每次把编号最小的叶子结点取出来，更新prufer序列，然后如果原来的父亲成为叶子，再加进去
}

void p_to_t() // prufer 序列转父亲序列
{
	for(int i=1; i<=n; i++) deg[i]=1;
	for(int i=1; i<=n-2; i++) deg[pf[i]]++; //根据性质，可以求出节点的度
	priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q; //用堆维护
	for(int i=1; i<=n; i++) if(deg[i]==1) q.push(i);
	int t=1; pf[n-1]=n;
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.top(); q.pop();
		fa[u]=pf[t],t++;
		deg[u]--,deg[fa[u]]--;
		if(deg[fa[u]]==1) q.push(fa[u]);
	} //每次取出编号最小的度数为1的点，然后连向它的父亲（
}

小应用

例子1

完全图生成树个数（无标号）（Cayley 公式）

$n$ 个点，prufer 序列有 $n^{n-2}$ 种，所以生成树个数也是这个.

完全图生成树个数（有标号）

$n^{n-2}\cdot n!$ （不然呢？不就是加个顺序

例子2

[HNOI2004]树的计数

一个有 $n$ 个节点的树，设它的节点分别为 $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ ，已知第 $i$ 个节点 $v_i$ 的度数为 $d_i$，问满足这样的条件的不同的树有多少棵.

题解：prufer序列中，每个节点出现的次数是 $d_i-1$，所以其实就是一个可重集排列，答案为 ${\displaystyle \frac{(n-2)!}{\prod _{i=1}^n(d_i-1)!}}$

有一些特判，$n=1$ 的时候要特判，有度数为零的要特判，度数加起来不等于 $2n-2$ 要特判