DTOJ 5769 下棋 题解
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题解
首先比较容易想到 \(dp\) , 因为任意一段绝对值不超过 \(k\) ，所以白棋个数减黑棋个数要在 \([-k,k]\) 区间里，我们于是考虑把状态设为白棋减黑棋个数的最大值和最小值.
具体来说 \(f_{i,j,a,b}\) 表示用了 \(i\) 个白，\(j\) 个黑， 白减黑最大值和最小值分别为 \(a,b\) .
转移较显然，时间复杂度 \(O(n^2k^2)\)
因为 \(|i-j|\in[-k,k]\) 所以可以优化到 \(O(nk^3)\) ，\(f_{i,j,a,b}\) 的 \(j\) 表示原来的 \(i-j\)
继续优化，考虑将白棋看做向上一步，黑棋看做向右一步，问题即可转化为求到 \((n,m)\) 的方案数，其中路径上点 \(\max\{x-y\}-\min\{x-y\}\leq k\)， 即路径在 \(x-y=k-t\) 和 \(x-y=-t\) \((t\in\{0,1,...,k\})\) 两条直线之间. 显然类似卡塔兰数的方格路径计数，因为两条线，需要容斥，时间复杂度 \(O(nk)\).
由于 \(\max\{x-y\}-\min\{x-y\} < k\) 的答案会被算多次，需要减去路径在 \(x-y=(k-1)-t\) 和 \(x-y=-t\) \((t\in\{0,1,...,k-1\})\) 两条直线之间的路径数，还有其他一些细节懒得写.
