DTOJ 2022.11.02 图论专题
题单
题解
A
题面：
给定 \(n\) 个各不相同的无序字母对（区分大小写，无序即字母对中的两个字母可以位置颠倒）。
请构造一个有 \(n+1\) 个字母的字符串使得每个字母对都在这个字符串中出现。
题解：
建图，欧拉路径模板.
欧拉路径这东西貌似没考过.
但是知道他可以dfs直接做就好了
（可能是因为复杂度太高）
代码：
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fs first
#define sc second
using namespace std;
const int N = 100, M = 52;
int n,deg[N],a[N*N],tp,flag=0,vt[N*N];
vector<pair<int,int> > g[N];
int ch_to_id(char c)
{
assert(isalpha(c));
if('A'<=c and c<='Z') return c-'A'+1;
else return c-'a'+1+26;
}
int id_to_ch(int d)
{
assert(1<=d and d<=52);
if(d<=26) return d+'A'-1;
else return d-27+'a';
}
void dfs(int u)
{
//printf("%c ",id_to_ch(u));
a[++tp]=u;
if(tp>=n+1) { flag=1; return ; }
for(auto e:g[u])
{
if(vt[e.sc]) continue;
vt[e.sc]=1; dfs(e.fs); vt[e.sc]=0;
if(flag) return;
}
if(flag) return;
tp--;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1; i<=n; i++)
{
char s[4]; scanf("%s",s);
int u=ch_to_id(s[0]),v=ch_to_id(s[1]);
g[u].push_back({v,i}),g[v].push_back({u,i}); deg[u]++,deg[v]++;
}
for(int i=1; i<=M; i++) sort(g[i].begin(),g[i].end());
//for(int i=1; i<=M; i++) if(g[i].size()) { for(auto e:g[i]) printf("(%c %c)",id_to_ch(i),id_to_ch(e.fs)); puts(""); }
int cnt=0,st=0;
for(int i=M; i; i--) if(deg[i]) st=i;
for(int i=M; i; i--) if(deg[i]&1) st=i,cnt++;
if(cnt!=0 and cnt!=2) { puts("No Solution"); return 0; }
dfs(st);
for(int i=1; i<=tp; i++) putchar(id_to_ch(a[i]));
return 0;
}
B
题面：
DAG， \(1 \le n \le 10^5,1 \le m \le 10\)，入度为零的点初始有 \(1\) 的水，每个节点会均等地把水流向之后的点，问最后每个出度为零的点多少水.
题解：
拓扑排序模板，当年 NOIP 的时候我没做出来，实在太菜了ww）
按照拓扑序做就好了.
注意分数要开 __int128.
代码：
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e5+5;
int n,m,deg_o[N],deg_i[N];
inline void prt(__int128_t x){
if(x < 0){
putchar('-');
x = -x;
}
if(x > 9)
prt(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
struct Misaka
{
__int128_t p,q;
void print() { prt(p),printf(" "),prt(q),puts(""); }
friend Misaka yf(Misaka a)
{
if(a.p==0) return {0,1};
__int128_t g=__gcd(a.p,a.q); if(g<0) g=-g;
a.p/=g,a.q/=g; return a;
}
friend Misaka operator+ (Misaka a, Misaka b) { return yf((Misaka){a.p*b.q+b.p*a.q,a.q*b.q}); }
friend Misaka operator/ (Misaka a, ll k) { return yf((Misaka){a.p,k*a.q}); }
}f[N];
vector<int> g[N];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",°_o[i]);
for(int j=1,u; j<=deg_o[i]; j++) scanf("%d",&u),g[i].push_back(u),deg_i[u]++;
}
queue<int> q;
for(int i=1; i<=m; i++) q.push(i),f[i]={1,1};
for(int i=m+1; i<=n; i++) f[i]={0,1};
while(!q.empty())
{
int u=q.front(); q.pop();
for(int v:g[u])
{
f[v]=f[v]+f[u]/deg_o[u]; deg_i[v]--;
if(deg_i[v]==0) q.push(v);
}
}
for(int i=1; i<=n; i++) if(deg_o[i]==0) f[i].print();
return 0;
}
C
题面：
树或基环树，dfs序的字典序最小.
题解：
树很简单，每个点排个序直接dfs就好啦！
基环树也很简单，注意到 \(O(n^2)\) 可以过，所以直接暴力枚举删的一条边，转成树，再dfs也就好啦！
稍微有点小卡常..
代码：
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fs first
#define sc second
using namespace std;
const int N = 5005;
int n,m;
vector<int> g[N];
int ans[N],r[N],nr,vt[N];
pair<int,int> dlt;
int rd()
{
int x; char ch;
while(!isdigit(ch=getchar()));
for(x=(ch^48); isdigit(ch=getchar()); x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48));
return x;
}
bool check()
{
for(int i=1; i<=n; i++)
if(ans[i]<r[i]) return false;
else if(ans[i]>r[i]) return true;
return false;
}
void dfs1(int u)
{
r[++nr]=u; vt[u]=1;
for(int v:g[u])
{
if(vt[v] or (u==dlt.fs and v==dlt.sc) or (u==dlt.sc and v==dlt.fs)) continue;
dfs1(v);
}
}
void work2()
{
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int v:g[i])
{
if(i>v) continue;
nr=0; dlt={i,v};
for(int i=1; i<=n; i++) vt[i]=0;
dfs1(1);
if(nr!=n) continue;
if(check()) for(int i=1; i<=n; i++) ans[i]=r[i];
}
}
int main()
{
n=rd(); m=rd();
for(int i=1; i<=n; i++) ans[i]=n+1-i;
for(int i=1,u,v; i<=m; i++)
{
u=rd(); v=rd();
g[u].push_back(v); g[v].push_back(u);
}
for(int i=1; i<=n; i++) sort(g[i].begin(),g[i].end());
if(m<n) { dfs1(1); for(int i=1; i<=nr; i++) printf("%d ",r[i]); }
else { work2(); for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d ",ans[i]); }
return 0;
}
D
还没补..
E
题面：
有向图，边权非负，\(1 \le n \le 10^5,1 \le m \le 2\times 10^5,1 \le k \le 50\)，\(1\) 号点到 \(n\) 号点的最短路长为 \(d\)，求\(1\) 号点到 \(N\) 号点长度不超过 \(d + K\) 的路径个数
题解：
考虑 dp ，由于 \(k\) 很小，把 \(k\) 设为状态.
设 \(dis_u\) 表示 \(1\rightarrow u\) 最短路
\(f_{u,j}\) 表示 \(1\rightarrow u\) 等于 \(dis_u+j\) 的路径个数
使用 dijkstra+堆求出 \(dis_u\) ，再使用记忆化搜索转移 \(f\)
dp 时记录当前正在被 dp 的 \(f_{u,j}\) ，如果再次 dp 到了，说明出现了零环，输出 -1
代码：
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e5+5, inf = 1e9;
int n,m,k,P,flag;
struct edge { int v,w; };
vector<edge> g[N],h[N];
int vt[N],dis[N];
int f[N][56],vf[N][56];
void dijk(int s)
{
priority_queue<pair<int,int> > pq;
for(int i=1; i<=n; ++i) dis[i]=inf;
dis[s]=0; pq.push({-0,s});
while(!pq.empty())
{
auto now=pq.top(); pq.pop();
int val=now.first,u=now.second;
if(dis[u]<val) continue;
for(auto e:g[u])
{
if(dis[e.v]>dis[u]+e.w)
{
dis[e.v]=dis[u]+e.w;
pq.push({-dis[e.v],e.v});
}
}
}
}
int dp(int u, int j)
{
if(~f[u][j]) return f[u][j];
f[u][j]=0,vf[u][j]=1;
for(auto e:h[u])
{
int t=dis[u]-dis[e.v]+j-e.w;
if(t<0) continue;
if(vf[e.v][t]) flag=1;
f[u][j]=(f[u][j]+dp(e.v,t))%P;
}
vf[u][j]=0;
return f[u][j];
}
int main()
{
int T; scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&P);
for(int i=1; i<=n; i++) g[i].clear(),h[i].clear();
for(int i=1,u,v,w; i<=m; i++)
{
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
g[u].push_back({v,w}),h[v].push_back({u,w});
}
dijk(1);
memset(f,-1,sizeof(f)); flag=0;
for(int i=0; i<=k; i++) dp(n,i);
if(flag) puts("-1");
else
{
memset(f,-1,sizeof(f)); f[1][0]=1; int ans=0;
for(int i=0; i<=k; i++) ans=(ans+dp(n,i))%P;
printf("%d\n",ans);
}
}
return 0;
}
