图论 学习笔记（省选+）
网络流
最大流问题(Maximum Flow Problem)
有向有权图
给定起点s和终点t
预期：求出从s到t的最大流
ps.有些“管道”达不到其最大容量
朴素的匹配算法(Naive Algorithm)：未必能找到最大流，其结果往往比最优解差一点，但是其他更好的算法都基于此算法
构建一个和原图(Original Graph)相同的新图(Residual Graph)，在新图上找出一条从s到t的简单无环图(Augmenting path)，可以通过例如当做无权图然后求最短路的方式
由于短板效应，这条路径上的最大流量是边权的最小值 Flow = Capacity - Residual;
然后将新图的该路径上都减少这个数字，然后按照此规则进行迭代
找不到路径时，终止程序，最大流即为减少的数字之和；某条边的流量即为上述 Flow
（算法）不漏水时，流出等于流入
由于该图是有向图，具有不可逆性，算法不能反悔，因而结果不一定是最优解
Naive求出的不一定是最大流，求出的被称为阻塞流(Blocking Flow)
阻塞流：有了这些流量，就不能增加到终点的流量了；虽然它不是最优的，但是把管道都给堵住了；最大流也是阻塞流
Ford-Fulkerson Algorithm：正确性有保障，一定能找到最大流
主要流程和朴素算法相似，但是在选择简单无环图、使此路径同时减小x之后，需要构建权值为x的反向路径；这样可以使之前选择的路径即使不好也可以撤销（构建反向路径时，不能和已有正向路径抵消。但是可以和同为反向路径的边叠加）
时间复杂度：
每次循环增加一，所以不可能超过最大流的大小。故每次的耗时为Amount of Max
设有m条边，每次找一条从起点到终点的路径（需要O(m)），因此每次循环的时间复杂度为O(m)；设最大流为f，则时间复杂度为O(m*f)
一个好的算法的时间复杂度不应当依赖于最大流的大小
Edmonds-Karp Algorithm
是Ford-Fulkerson Algorithm的特例，时间复杂度不需要依赖于最大流的大小
二者的唯一区别是，Edmonds-Karp Algorithm寻找简单无环图时，需要将图看做无权图，然后寻找最短路
时间复杂度：
设m是边数，n是节点数
每一次循环需要在residual graph（最多有2m条边）上寻找最短路，时间复杂度为O(m)
循环次数最多为 m*n 轮
故总时间复杂度为：O(\(m^2\) *n)，此算法不依赖于最大流的大小
Dinic's Algorithm
阻塞流(Blocking Flow)：有了这些流量，管道就无法通过更多的流了；最大流一定是阻塞流，但是阻塞流不一定是最大流
naive algorithm一定能找到阻塞流
Level Graph：类似于生物中食物链中的营养级
时间复杂度：O(m*\(n^2\) )
由于在一个连通图中，节点数一般不会大于边数，故此算法更优
Dinic's Algorithm:
1.构建level graph
2.在level graph中寻找blocking flow（可以用简单算法）
3.在原图中将流量减少level graph中阻塞流中的流量得到residual graph，同时添加反向边
4.用residual graph构造新的level graph‘，然后寻找阻塞流；再从residual graph中减少阻塞流相应的流量并构建反向边，和之前的反向边合并
5.依次迭代。直到levelgraph中找不到阻塞流。原图减去最后的residual graph即为最大流 ( flow=capasity-residual)
时间复杂度：最多循环n-1次，每次时间复杂度为O(mn)，故总时间复杂度为O(m*\(n^2\) )
最小割问题(Minimun Cut Problem)
最大流和最小割是等价的
S-T Cut：把集合V分成两个集合S和T
集合S和T的并集是集合V，交集是空集
其中s∈S，t∈T
二元组pair(S,T)即为s-t cut
Capacity(S,T)：所有从S通向T的边的权重之和
最小割：在所有s-t cut中最小的一个（用最小的花费去截断水流）
最小割并不唯一
Max-Flow Min-Cut Theorem：最大流=最小割
求出最小流的方法：
1.用任意算法求出最大流（Edmonds-Karp algorithm和Dinic's algorihtm都可以）
2.抹去residual graph中的反向边
寻找minimum s-t
1.在residual graph中，从起点s出发，能经过的所有节点构成集合S
2.剩余的点即属于集合T
Bipartite Graph（二部图/二分图）
定义：将一个图划为两个部分，包括点集U、点集V和所有边的集合E，所有边都是U和V之间的，集合U、V的内部分别不能有边
示例：岗位分配，宠物分配，相亲大会
可以是有向图，也可以是无向图
判断是否是二部图：
1.将任意一个节点染成红色
2.将红色相邻的边染成蓝色
3.将蓝色相邻的边染成红色
4.依次迭代。如果发现一个节点和它邻居的颜色相同，则停止循环，不是二部图；如果自始至终没有出现上述情况，则是二部图
算法具体实现：
准备一个空队列queue；任意标记一个节点\(v_1\)，将它放入队列；
取出队顶 ，查看邻边；
如果未被访问：
染成异色，放入队列；
如果被访问过：
如果同色，则不冲突，继续循环；
如果异色，结束循环，非二部图；结束程序。
如果队列为空，停止循环，是二部图；结束程序。
如果有未被染色，删除已经染色的部分，重复之前的操作，如果true，则也是二部图；
时间复杂度：O(|V|+|E|)
无权图的二分图匹配问题Maximum-Cardinality Bipartite Matching(MCBM)
边的匹配：一个边的集合，可以使每一个节点连接不超过一条边（边不能有共同节点）
MCBM的定义：在所有匹配中，权值和最大的一种匹配；由于是无权图，所有匹配数即为匹配数
转化：新增两个点，分别是source（点s）和sink（点t）；构建两组新边，分别从点s指向所有的点集U中的元素，从点t指向所有的点集V中的元素。把所有边的流量设为1。
有权图的二分图匹配问题
把集合U中的元素和集合V中的元素之间的边记为\(w_{ij}\)，把图表示为邻接矩阵
应用：让合适的人做合适的工作，收养更喜欢的宠物，找合适的对象
最大匹配和最小匹配是可以相互转化的，将边正权全部取反进而转化为负权，而结果是相同的；
匈牙利算法(Hungarian Algorithm)：寻找最小匹配
要求：两边的节点数相同（都为n），一般用邻接矩阵来存图
初始化：对于每一个集合U中的节点，设它连接的权重最小的边权为x。将所有和它相连的边权都减少x，这时邻接矩阵中每一行都至少有一个0；再对每一个集合V中的节点做相同的操作；最终每一行每一列都至少有一个0。
对于每一次循环：
1.找一些线（横着或者竖着的）来覆盖所有的0；
2.决定停止程序：如果需要n条线，则停止循环；如果需要线数少于n，则继续循环；
3.创造额外的0：在所有非0元素中寻找最小的元素，记作x；把所有没有线覆盖的数字都减去x，把所有线交叉地方的数字都增加x。
终止循环后，0的数量即为边数，从中选出n个作为最小匹配，即为答案。
稳定婚配问题(stable marriage)
一组男和一组女（元素数量都为n），每个人分别对对方组别的每一个人有排序；每个人心中的男神或者女神不一定是配偶，假如一男一女不是配偶，而且相互之间的爱超过了对彼此配偶的爱，那么他们都会选择离婚，然后组建新的家庭；即每个人都追不到比自己配偶更好的对象
稳定婚配并不唯一
Gale-Shapley Algorithm（对主动方更有利的策略）
1.寻找一个未婚男性向他最喜欢的女性求婚，即使此女性已婚也没关系；但是如果这个女性已经拒绝过他，那就向下一个女性求婚（好马不吃回头草），即向一个人不能求婚两次
2.女性在offer中选择出最喜欢的那一个；如果已婚，并且offer更好，那就可以换个配偶
时间复杂度：O(\(n^2\))
