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~~组合意义天地灭，代数推导保平安。~~
根据对称性，从 $(0, 0, 0)$ 走到 $(x, y, z)$ 的方案数等于走到 $(| x |, | y |, | z |)$ 的方案数，下文假设 $x, y, z > 0$ 。
最小步数显然是 $x + y + z$ ，每一步都是将某一维加 1，如果我们在某一维添上一个减 1 的操作，为了让这一维达到最终目标，应添加一个加 1 的操作，因此增加的步数一定是 2 的倍数，这就是判无解的条件。
由于每多一个减 1 就一定多一个加 1，因此我们可以通过总步数算出一共走了多少次 -1，记为 $c n t = \frac{n - (x + y + z)}{2}$ 。
于是我们枚举第一维用了多少次 -1，以及第 2 维用了多少 -1，可以得到如下~~长相十分恐怖~~的式子：

\begin{array}{r} a n s = \sum_{i = 0}^{c n t} (\binom{n}{x + i}) (\binom{n - (x + i)}{i}) \sum_{j = 0}^{c n t - i} (\binom{n - (x + 2 i)}{y + j}) (\binom{n - (x + 2 i) - (y + j)}{j}) (\binom{n - (x + 2 i) - (y + 2 j)}{z + c n t - i - j}) \end{array}

尝试化简后面那坨式子，暴力拆开组合数：

\begin{aligned} W & = \sum_{j = 0}^{c n t - i} (\binom{n - (x + 2 i)}{y + j}) (\binom{n - (x - 2 i) - (y + j)}{j}) (\binom{n - (x - 2 i) - (y + 2 j)}{z + c n t - i - j}) \\ = \sum_{j = 0}^{c n t - i} \frac{(n - (x + 2 i))!}{(y + j)! j! (z + c n t - i - j)! (c n t - i - j)!} \\ = (n - (x + 2 i))! \sum_{j = 0}^{c n t - i} \frac{1}{(y + j)! j! (z + c n t - i - j)! (c n t - i - j)!} \end{aligned}

把后面凑成新的二项式系数：

\begin{aligned} W & = \frac{(n - (x + 2 i))!}{(c n t + y - i)! (c n t + z - i)!} \sum_{j = 0}^{c n t - i} \frac{(c n t + y - i)!}{(y + j)! (c n t - i - j)!} \frac{(c n t + z - i)!}{j! (z + c n t - i - j)!} \\ = \frac{(n - (x + 2 i))!}{(c n t + y - i)! (c n t + z - i)!} \sum_{j = 0}^{c n t - i} (\binom{c n t + y - i}{y + j}) (\binom{c n t + z - i}{z + c n t - i - j}) \\ = \frac{(n - (x + 2 i))!}{(c n t + y - i)! (c n t + z - i)!} (\binom{2 c n t + y + z - 2 i}{c n t + y + z - i}) \end{aligned}

其中最后一步用到了范德蒙德卷积公式。
于是枚举 i 就能做到 $O (n)$ 计算。
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posted on 2024-01-18 14:02 cool_tyl 阅读(8) 评论(0) 编辑收藏举报

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