CF1693D题解

很妙的dp题。
首先肯定要想判断一个序列是否合法。
第一篇题解的结论太强了，蒟蒻只能想到dp。
设 $d{p}_{i,0}$ 表示 $a_i$ 作为上升段末尾时，下降段末尾的最大值。
$d{p}_{i,1}$ 表示 $a_i$ 作为下降段末尾时，上升段末尾的最小值。

• 起点：$d{p}_{i,0}=-inf,d{p}_{i,1}=inf(i>1),d{p}_{1,0}=inf,d{p}_{1,1}=-inf$。
• 转移：
  若 $a_{i-1}$ 能接到上升段（即 $d{p}_{i-1,0}\ne -inf$），则 $d{p}_{i,0}\leftarrow d{p}_{i-1,0}(a_i>a_{i-1}),d{p}_{i,1}\leftarrow a_{i-1}(a_i<d{p}_{i-1,0})$。
  若 $a_{i-1}$ 能接到下降段（即 $d{p}_{i-1,1}\ne inf$），则 $d{p}_{i,1}\leftarrow d{p}_{i-1,1}(a_i<a_{i-1}),d{p}_{i,0}\leftarrow a_{i-1}(a_i>d{p}_{i-1,1})$。

那么暴力枚举子段，用上述 $dp$ 即可做到 $\mathcal{O}(n^3)$。

考虑优化，假设固定左端点，那么合法的右端点只能是一个前缀，右端点右移的时候进行转移，优化为 $\mathcal{O}(n^2)$。

观察上面的 $dp$ 转移，发现 $d{p}_i$ 只与 $d{p}_{i-1}$ 有关，如果 $d{p}_{i-1}$ 在上一个左端点和当前左端点的值相同，$i$ 后面的值都不会变化，那么我们从后往前枚举左端点，记录右端点的最大值 $mxr$，如果发现某一处的 $d{p}_i$ 未发生变化，直接继承上一次的 $mxr$ 就行了，这样看似还是 $\mathcal{O}(n^2)$，但这个做法足以通过本题。

有一个很神奇的性质：
对于所有左端点，$d{p}_{i,0}$ 和 $d{p}_{i,1}$ 都只有 $4$ 种取值。
证明：
对于 $i$，找到 $i$ 之前最大的 $j$ 满足 $a_j>a_{j+1}$，那么 $a_j$ 和 $a_{j+1}$ 中必有一个是下降段的末尾，也就是说 $d{p}_{i,0}=a_j/a_{j+1}/-inf$。
如果不存在 $j$，$d{p}_{i,0}=inf$。
对于 $d{p}_{i,1}$ 同理。

于是每个点都最多被更新 $7$ 次，之后就再也不会变化，复杂度降为 $\mathcal{O}(n)$。