CF1648D题解

记 $s_{i,j}$ 表示第 $i$ 行前 $j$ 列的价值和（即前缀和）。
之前模拟赛遇到过类似的线段覆盖问题，考虑 $dp$，设 $f_i$ 表示从 $(1,1)$ 走到 $(2,i)$ 且所选线段的右端点恰好覆盖到 $i$ 的最大收益。
将所有线段按右端点排序，然后对于 $i$ 枚举以 $i$ 为右端点的线段 $x$ 进行转移。
转移有两种：

• 从上一个线段的右端点走过来，即 $\underset{L_x-1\le j\le i-1}{max}{f}_j+s_{2,i}-s_{2,j}$，可以用线段树维护。
• 直接从 $(1,1)$ 走到 $(2,i)$，即 $\underset{L_x\le j\le i}{max}{s}_{1,j}-s_{2,j-1}+s_{2,i}$，同样可以用线段树维护。

但上述 $dp$ 存在问题，即线段覆盖的最右端点不一定是最后走到的最右端点，但是至多只有最后一个区间的右端点没有被走到。

枚举没有被走满的区间 $x$，考虑上一个线段的右端点 $i$（$L_x-1\le i\le R_x-1$），以及拐点 $j$，为了方便，记 $g_j=s_{3,n}-s_{3,j-1}+s_{2,j}$，于是就变成了询问区间 $[L_x-1,R_x]\mathrm{中}$ $\underset{i<j}{max}{f}_i-s_{2,i}+g_j$，这个也可以用线段树维护，具体地，对于每个区间维护 $ans$ 和区间 $f,g$ 最大值，合并的时候取 左区间的 $ans$，右区间的 $ans$，左区间 $f$ 的 $mx$ 和右区间 $g$ 的 $mx$ 的和 三个值的最大值。

注意只用一条线段的情况特殊考虑，记 $a_i=s_{1,i}-s_{2,i-1}$，$b_i=s_{3,n}-s_{3,i-1}+s_{2,i}$，然后枚举用的区间，又变成询问 $a_i+b_j$ 的最大值，处理方法同上。