动态规划：背包问题

背包问题  

• 有一个背包（限定条件：对可选的东西进行限制），从一堆物品中选择若干放进背包，使得最后背包中的价值是最大的
• 01背包：对于一个物品，可以选0或1次    
• 完全背包：对于一个物品，可以选多次(>=1)  

01背包 

1. 问题描述 http://hihocoder.com/problemset/problem/1038

有M张奖券，奖品区有N件奖品，分别标号为1到N，其中第i件奖品需要need(i)张奖券进行兑换且评分值为value(i)。每件奖品最多只能兑换一次。凭借他手上的M张奖券，可以换到哪些奖品，使得这些奖品的喜好值之和能够最大。

奖品标号	1	...	i	...	N
需要奖券	need(1)	...	need(i)	...	need(N)
评分值	value(1)	...	value(i)	...	value(N)

2. 状态转换

• 状态：allValue[i][j] = 喜好总值[当前是第i件物品][前面已经使用的奖券j]
• 决策：第i件物品是否要选
• 状态转换: allValue[i][j] = max{allValue[i - 1][j], allValue[i - 1][j - need[i]] + value[i]}
• 从左往右，从下往上 for(...i...){for(...j...)}

3. 代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
int dp[505][100005];
int w[505],v[505];
int max(int m,int n)
{
    return m>n?m:n;
}
void solve(int n,int m)
{
    int i,j;
    for(i=0;i<=m;i++)
        dp[0][i]=0;
    for(i=0; i<n; i++)
        for(j=0; j<=m; j++)
        {
            if(j<w[i])
                dp[i+1][j]=dp[i][j];
            else
                dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);
        }
        printf("%d",dp[n][m]);
}
int main()
{
    int n,m,i;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=0;i<n;i++)
            scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
    solve(n,m);
    return 0;
} 

完全背包 

1. 问题描述 http://hihocoder.com/problemset/problem/1043

可以兑换无数次

2. 状态转换

• 状态：allValue[i][j] = 喜好总值[当前是第i件物品][前面已经使用的奖券j]
• 决策：第i件物品可以选k件(0<=k<=剩余的奖券/第i件物品需要的)
• 状态转换: allValue[i][j] = max{allValue[i - 1][j - k*need[i]] + k*value[i]}
• 优化转换关系:
  • 在对j的遍历过程中，会先后计算到allValue[i][j-need[i]], allValue[i][j]
  • 1) allValue[i][j] = max{allValue[i-1][j], allValue[i-1][j-need[i]] + value[i], ...,allValue[i-1][j-k*need[i]]+k*value[i]}
  • 2)allValue[i][j - need[i]] = max{allValue[i-1][j-need[i]] + value[i], ...,allValue[i-1][j-k'*need[i]]+k'*value[i]}
  • 1)2)可以转换成：allValue[i][j] = max{allValue[i-1][j], allValue[i][j - need[i]] + value[i]}

3. 代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxN = 501;
const int maxM = 100001;
int values[maxN][maxM];
struct Prize
{
    int need;
    int value;
}prizes[maxN];


void dp(int N, int M)
{
    for (int i = 0; i <= M; i++)
        if (i >= prizes[0].need)
            values[0][i] = i / prizes[0].need * prizes[0].value;
        else
            values[0][i] = 0;
    int max = 0;
    for (int i = 1; i < N; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= M; j++)
        {
            if (prizes[i].need > j)
                values[i][j] = values[i - 1][j];
            else
            {
                int tmp = values[i][j - prizes[i].need] + prizes[i].value;
                if (tmp > values[i - 1][j])
                    values[i][j] = tmp;
                else
                    values[i][j] = values[i - 1][j];
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int M, N;
    cin >> N >> M;
    for (int i = 0; i < N; i++)
        cin >> prizes[i].need >> prizes[i].value;
    prizes[N].need = prizes[N].value = 0;
    
    dp(N, M);    
    cout << values[N - 1][M] << endl;
    return 0;
}