从线性逼近到多项式逼近：泰勒级数

Taylor级数（对函数进行高阶逼近）：对复杂函数使用多项式

进行逼近

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泰勒公式告诉我们，怎么把铁丝弯成不同的样子

泰勒公式一句话描述：就是用多项式函数去逼近光滑函数。
先来感受一下：

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设

，这些都是常数，我们暂时不管，先看看其中最基础的组成部分，幂函数有什么特点。

可以看到，幂函数其实只有两种形态，一种是关于 $Y$ 轴对称，一种是关于原点对称，并且指数越大，增长速度越大。

那幂函数组成的多项式函数有什么特点呢？

怎么才能让 $x^2$ 和 $x^9$ 的图像特性能结合起来呢？

我们来动手试试看看系数之间如何压制的：

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通过改变系数，多项式可以像铁丝一样弯成任意的函数曲线。送你一颗心（虽然是隐函数，意思一下）：

2.用多项式对 $e^ x$ 进行逼近：

$e^ x$ 是麦克劳伦展开形式上最简单的函数，有 $e$ 就是这么任性。

增加一个 $\frac{1}{4!}x^4$ 看看。

增加一个 $\frac{1}{5!}x^5$ 看看。

可以看出， $\frac{1}{n!}x^ n$ 不断的弯曲着那根多项式形成的铁丝去逼近 $e^ x$ 。并且 $n$ 越大，起作用的区域距离0越远。

3.用多项式对 $sin(x)$ 进行逼近

$sin(x)$ 是周期函数，有非常多的弯曲，难以想象可以用多项式进行逼近。

同样的，我们再增加一个 $\frac{1}{7!}x^7$ 试试。

可以看到 $\frac{1}{7!}x^7$ 在适当的位置，改变了 $x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5$ 的弯曲方向，最终让 $x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7$ 更好的逼近了 $sin(x)$ 。

一图胜前言，动手看看 $sin(x)$ 的展开吧：

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4.泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系

拉格朗日中值定理：如果函数 $f(x)$ 满足，在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导，那么至少有一点 $\theta$ ( $a<\theta <b$ )使等式 $f'(\theta )=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$ 成立。

数学定义的文字描述总是非常严格、拗口，我们来看下拉格朗日中值定理的几何意义：

这个和泰勒公式有什么关系？泰勒公式有个余项 $R_ n(x)$ 我们一直没有提。

余项即使用泰勒公式估算的误差，即:

余项的代数式是， $R_ n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta )}{(n+1)!}(x-a)^{(n+1)}$ ，其中 $a<\theta <x$ 。是不是看着有点像了？

当 $N=0$ 的时候，根据泰勒公式有， $f(x)=f(a)+f'(\theta )(x-a)$ ，把拉格朗日中值定理中的 $b$ 换成 $x$ ，那么拉格朗日中值定理根本就是 $N=0$ 时的泰勒公式。

结合拉格朗日中值定理，我们来看看 $N=0$ 的时候，泰勒公式的几何意义：

当 $N=0$ 的时候，泰勒公式几何意义很好理解，那么 $N=1,2,\cdots$ 呢？

这个问题我是这么理解的：首先让我们去想象高阶导数的几何意义，一阶是斜率，二阶是曲率，三阶四阶已经没有明显的几何意义了，或许，高阶导数的几何意义不是在三维空间里面呈现的，穿过更高维的时空才能俯视它的含义。现在的我们只是通过代数证明，发现了高维投射到我们平面上的秘密。

还可以这么来思考泰勒公式，泰勒公式让我们可以通过一个点来窥视整个函数的发展，为什么呢？因为点的发展趋势蕴含在导数之中，而导数的发展趋势蕴含在二阶导数之中......四不四很有道理啊？

5.泰勒公式是怎么推导的？

很多同学看到这段时，可能有点看不懂，我在牛顿插值的几何解释是怎么样的？ - 知乎，这个回答里尝试重新作答了。

根据“以直代曲、化整为零”的数学思想，产生了泰勒公式。

如上图，把曲线等分为 $n$ 份，分别为 $a_1$ ， $a_2$ ， $\cdots$ ， $a_ n$ ，令 $a_1=a$ ， $a_2=a+\Delta x$

， $\cdots$ ， $a_ n=a+(n-1)\Delta x$ 。我们可以推出（ $\Delta ^2$ ， $\Delta ^3$ 可以认为是二阶、三阶微分，其准确的数学用语是差分，和微分相比，一个是有限量，一个是极限量）：

也就是说，f(x)全部可以由 $a$ 和 $\Delta x$ 决定，这个就是泰勒公式提出的基本思想。据此的思想，加上极限 $\Delta x \to 0$ ，就可以推出泰勒公式。

6.泰勒公式的用处

多项式这种函数是我们可以亲近的函数，它们很开放、很坦白，心里想什么就说什么，比如：

$f(x)=2-3x$ ，这个多项式会告诉我们想问的任何消息，甚至更多，譬如，我们问：“嘿，老兄，你在4那点的值是多少？”这时 $f(x)$ 会毫不犹豫的回答：“你把4代进来，就会得到 $2-3\times 4=-10$ ，顺便告诉你，我最近长了奇怪的疹子，痒的要命，还好这两天症状减轻了...”。但是 $ln(x)$ 阴暗、多疑，要是问它：“嗨，你在3的值是多少啊？”你得到的答案可能是：“你要干什么？为什么打听别人的私事？你以为凭着你那点加减乘除的三脚猫功夫就可以查出我的底细？况且我在3的值是多少，干你什么事！”----《微积分之倚天宝剑》

泰勒公式最直接的一个应用就是用于计算，计算机一般都是把 $sin(x)$ 进行泰勒展开进行计算的。

泰勒公式还可以把问题简化，比如计算， $\displaystyle \lim _{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}$ ，代入 $sin(x)$ 的泰勒展开有：

$\displaystyle \lim _{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}=\lim _{x \to 0}\frac{x+o(x^3)}{x}=1$ ，其中 $o(x^3)$ 是泰勒公式里面的余项，是高阶无穷小， $\displaystyle \lim _{x \to 0}o(x^3)=0$ 。解题神器有没有？