【做题记录】Codeforces Round 915 (Div. 2)/CF1905A-F

合集 - 做题记录(2)

1.【做题记录】Codeforces Round 915 (Div. 2)/CF1905A-F2024-08-13

2.【做题记录】Codeforces Round 943 (Div. 3)/CF1968A-F2024-10-15

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目录

• A. Constructive Problems(800)
• B. Begginer's Zelda(1100)
• C. Largest Subsequence(1400)
• D. Cyclic MEX(2000)
• E. One-X(2400)
• F. Field Should Not Be Empty(2600)
• 提交记录

A. Constructive Problems(800)

注意到，对于 $n\times n$的矩阵，只需要把对角线全染黑即可。
推广到 $n\times m$ 的矩阵，不妨令 $m>n$，那么我们染 $n$ 个格子把左边 $n\times n$的矩阵全染黑，而后对于剩下的矩阵随便找一行全染黑即可，所以：$ans=max(n,m)$

B. Begginer's Zelda(1100)

考虑每次合并一对叶子节点，只剩一个时和根节点合并，这样次数最小。

随便口糊一下证明：因为每一个叶子结点都要合并，那肯定是跟其他叶子结点合并最优。

C. Largest Subsequence(1400)

考虑最终情况，即将典序最大的子序列变成 从小到大 的再插回原序列中，即可判断是否有解和次数。

Tips：
找典序最大的子序列 可以从后往前，没找到一个比自己大的就直接替换，可以证明是对的。

D. Cyclic MEX(2000)

考虑模拟每一次操作。

先求出前缀 mex，则每把一个数 $a_i$ 扔到后面，则前缀 mex 中 $<a[i]$ 的不变，$>a[i]$ 的变为 $a[i]$，由于前缀 mex 单调不减，考虑用单调队列维护即可。

注意需要维护权值跟出现次数两个东西。

E. One-X(2400)

正难则反，考虑计算每一个节点作为 lca 被计算了多少次。

设节点 $x$ 所对应的区间为 $[l,r]$，区间长度$le{n}_x=r-l+1$，那么 $x$ 的左儿子对应区间为 $[l,\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor ]$，长度为 $\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor -l+1=\lfloor \frac{r-l+2}{2}\rfloor =\lfloor \frac{le{n}_x+1}{2}\rfloor$，用 $L$表示，同理， $x$ 右儿子所对应区间长度为 $\lfloor \frac{le{n}_x}{2}\rfloor$，用 $R$ 表示。

若 $x$ 节点作为 lca 有贡献，那么它的左右子树内都至少选一个点，多的不限，所以合法方案数为 $(2^L-1)\times (2^R-1)$ (除了全不选其他都和法)

又发现对于不同的点 $x$，若它们对应区间长度相同，那么合法方案数都一样，根据乘法分配律可以将它们节点的值合起来。

于是正解来了：

考虑直接记忆化搜索。

令 $f[x]$ 表示对应区间长度为 $x$ 的节点值之和，$g[x]$ 为长度为 $x$ 的区间个数。
得出转移公式：
若 $x\ne 1$，那么：

$$\{\begin{array}{rl}f[ls]& =2f[x]\\ f[rs]& =2f[x]+g[x]\\ g[ls]& =g[x]\\ g[rs]& =g[x]\end{array}$$

其中 $ls,rs$ 为 $x$ 的左右儿子。

为什么呢？
回到建树过程：

void buuild(int x,int l,int r){
//
	build(x<<1,l,mid);
	build(x<<1|1,mid+1,r);
}

就是这两行，懂？

于是我们就可以欢乐记忆化暴搜了。

对了，忘记证明时间复杂度了，关键是 线段树上长度不同的区间个数是 $\log n$ 级的，这就能保证时间复杂度了。

F. Field Should Not Be Empty(2600)

这里用 $a$ 代替题目中的 $p$。

观察到一个数是好的，当且仅当 $a[i]=i,\underset{j=1}{\overset{i}{max}}a[j]=a[i]$

瞪眼法可知，我们只会换逆序对，除非没有（所以要特判），因为这样原来是好的还是好的，原来不好的有可能变为好的，可证明是最优的。

那我们考虑对于一个不好的点，记录那些操作能把它编号，最终我们取最大的即可。

考虑分类讨论：

• $a[i]=i$，则能把 $a[i]$ 从不好变为好 当且仅当只有一个 $j<i$，使得 $a[j]>a[i]$，则调换一下 $a[j]$ 和$i$ 后面那个小于 $a[i]$ 的即可。

• $a[i]>i$ 此时只有可能把 $i$ 和 $a[i]$ 位置调换才有可能，判断一下即可。(这里不详说，留给读者仔细思考)

• $a[i]<i$ 同上

提交记录

A
B
C
D
E
F