二次函数与三角形面积最大值

合集 - 一只蒟蒻的数学笔记-初二(1)

1.二次函数与三角形面积最大值2023-10-14

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引入

如图$(1)$，已知抛物线 $y=x^2-2x+c$ 与 $x$ 轴交 $A$，$B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，抛物线的顶点为 $D$ 点，点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$。
$(1)$ 求点 $D$ 的坐标。
$(2)$ 若 $M$ 为直线 $BC$ 下方抛物线上一动点，当 $△MCB$ 面积最大时，求点 $M$ 的坐标，并求出面积的最大值。

分析

前面的就不说了，$y=x^2-2x-3$，$D(1,-4)$。关键是第二问，感觉CPU直接炸了。

F1

首先我们要知道一个东西，如图：

$\mathrm{△}ABC=\frac{1}{2}AD\times (x_B-x_C)$
$\text{满足}AD//y$。
证明呢很简单，分别过 $B,C$ 向 $AD$ 作垂线再套面积公式就可以了。
所以就有了以下过程：

$\text{设点}M(m,m^2-2m-3)\text{，过}M\text{作}MN//y\text{交}BC\text{于}N$
$l_{BC}:y=x-3$
$\therefore N(m,m-3),MN=(m-3)-(m^2-2m-3)=-m^2+3m$
$\therefore S\mathrm{△}MCB=\frac{1}{2}(-m^2+3m)(x_B-x_C)=-\frac{3}{2}(m^2-3m)$
当 $M=\frac{3}{2}$ 时取 $max$ 及 $maxS\mathrm{△}MCB=-\frac{3}{2}(\frac{9}{4}-\frac{9}{2})=\frac{27}{8}$

F2

当然了，这也不是绝对的。
我们可以想象到三角形面积最大值时的点 $M$ 就是一条和抛物线相切的平行于 $BC$ 的直线的切点。
通过这个我们就可以联立解方程。但需要强调一点：切点一般都不是抛物线的顶点。
于是就有了法 $2$：
$\because l_{BC}:y=x-3$
$\text{作}l:y=x+b//BC\text{相切于抛物线}$
$\text{联立得}:\left\{\begin{array}{c}y=x+b\\ y=x^2-2x-3\end{array}\right\}$

$\text{即}:x^2-3x-3-b=0$
$\because M\text{是切点，}\therefore \mathrm{\Delta }=9+4(3+b)=0$
$\therefore b=-\frac{21}{4}$
$\therefore x^2-3x-\frac{33}{4}=0$
$\therefore x_{1,2}=\frac{3}{2}$
$\therefore M(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$
$BC=3\sqrt{2}$
由点到直线距离公式得:$M$ 离 $BC$ 的距离 $d$ 为 $\frac{9\sqrt{2}}{8}$
$\therefore maxS\mathrm{△}MCB=\frac{1}{2}BC\cdot d=\frac{27}{8}$

如果你学得多一点的话，还有另一种解法：

$\because y=x^2-2x-3$
$\therefore y^{\prime }=2x-2$
令 $2x-2=1$
$\therefore x=\frac{3}{2}$
$\therefore M(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$
$\dots$

总结

所以总的来说，就铅锤法和联立解方程法，但若是你导数学得够 $6$，也是可以轻松求解的。