【ybtoj】【质数和约数】不定方程

题意

题解

首先面对这种不定方程，先转化成 \(x=k\times y\) 的形式，本题中即 \(y=\dfrac{xn!}{x-n!}\).
设 \(t=x-n!\) ，则 \(y=n!+\dfrac{(n!)^2}{t}\).
那么问题转化成求 \((n!)^2\) 的约数个数。
这里由于 \(n!\) 非常大，所以不能用常规的试除法 \(O(\sqrt{n})\) 求出其所有约数。
引入一种方法快速求出 \(n!\) 的约数个数。
先求出 \(n\) 中所有的质数，接着...先看代码：

pre();
for(int i=1;i<=cnt;i++) 
	for(ll j=p[i];j<=n;j*=p[i])
	{
		c[i]+=n/j;
		c[i]%=mod;
	}

具体是怎么实现的呢？以 \(2\) 的幂次方的覆盖为例，先看下图：
其中红色表示 \(2\) 的倍数，绿色表示 \(4\) 的倍数，蓝色表示 \(8\) 的倍数。

这样的覆盖方法可以发现，\(n!\) 内的每一个数的质因数个数都会被计入，同时第二维循环只需要枚举到 \(n\) 即可。
对于 \((n!)^2\)，累乘 \((2\times c_i-1)\) 即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int INF = 0x3f3f3f3f,N = 1e7+10,mod = 1e9+7;
inline ll read()
{
	ll ret=0;char ch=' ',c=getchar();
	while(!(c>='0'&&c<='9')) ch=c,c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9') ret=(ret<<1)+(ret<<3)+c-'0',c=getchar();
	return ch=='-'?-ret:ret;
}
bool vis[N];
int p[N],cnt,c[N],n;
void pre()
{
	vis[2]=0;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i]) p[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++)	
		{
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0) break; 
		}
	}
}
int main()
{
	n=read();
	pre();
	for(int i=1;i<=cnt;i++) 
		for(ll j=p[i];j<=n;j*=p[i])
		{
			c[i]+=n/j;
			c[i]%=mod;
		}
	ll ans=1;
	for(int i=1;i<=cnt;i++) 
		ans=(ans*(c[i]*2+1))%mod;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}