NOIP/CSP各种技巧思路合集

DP 类

• 累加和的 DP 数组可以前缀和优化。
• 滚动数组优化。
• 单调队列优化。
• 斜率优化。
• 遇到 DP 状态类似“ \(dp_i\) 表示第 \(i\) 个元素必选的 xxx 代价 ”时，可以在后面加上一个空元素，以 \(dp_{n+1}\) 作为答案。
• 要求答案恰好选择 \(m\) 个物品（或数字之类），可以初值赋值成-INF，给最初状态赋值成 \(0\)（比如dp[0]=0;）。最简单的例子就是背包要求空间恰好为 \(m\) 。
• 矩阵优化。
• 倍增优化。
• 卷积，生成函数，数学方法求出通项等。
• 题目要求满足整除某个数字等条件，记录一维余数的大小。
• 对卡特兰数要敏感。（看出来了基本就是白捡分啊）

区间类

• 差分，轻松将区间加等差数列改成区间加和。
• 对于一个区间 \([l,r]\)，可以转化成前缀和相减的形式入手。
• 扫描线思想，线段树上二分。
• 把树形结构转化成 dfs 序区间，可以搭配线段树区间维护。

树上问题类

• 无论何时要考虑树为链的特殊情况。没思路的话可以作为切入点，写正解的话可以防止被 Hack 。
• 树上背包：注意循环顺序。
• 换根 DP。
• 树上贪心：优先选 LCA 深度大的路径。

数据结构及图论类

• 遇事不决，线段树维护。
• 线段树上二分。
• 线段树优化建图。
• 扫描线思想，把二维转化成一维。
• 遇到麻烦的情况，考虑建立超级源点或者虚点作为起点或者中转。
• \(n,m\) 同阶时求全源最短路不要用 Floyd，要用 dijk（有负权要用 johnson 全源最短路，但应该不会那么变态）

字符串类

• Hash 写暴力很好用，常和二分结合。
• Trie 树可以处理二进制异或问题。
• 循环节相关别忘记 KMP 。

常数类

• 函数多次调用的时候可以存到一个变量里。
• 善用inline。
• register被弃用了，不知道能不能用但至少没有优化了。
• 循环枚举时尽量降低常数。

杂类

• 遇事不决离线试试？
• 正难则反，补集转化。
• 容斥原理。
• 整体贡献转化为单独贡献。举几个简单的例子：
  • 多个图形包含了多少个点 \(\Rightarrow\) 每一个点被多少个图形包括。
• 有关平均数的 DP，可以考虑把每个元素价值减去平均数，最简单的例子：均分纸牌。

数学类

• 杨辉三角类似递推转成组合数计算。
• 组合数次数太大用 Lucas 定理。