P1018 [NOIP2000 提高组] 乘积最大

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题目描述

今年是国际数学联盟确定的“ 2000 ――世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰 90 周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友 XZ 也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为 $N$ 的数字串，要求选手使用 $K$ 个乘号将它分成 $K+1$ 个部分，找出一种分法，使得这 $K+1$ 个部分的乘积能够为最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：$312$， 当 $N=3,K=1$ 时会有以下两种分法：

1. $3\times 12=36$
2. $31\times 2=62$

这时，符合题目要求的结果是: $31\times 2=62$

现在，请你帮助你的好朋友 XZ 设计一个程序，求得正确的答案。

输入格式

程序的输入共有两行：

第一行共有 $2$ 个自然数 $N,K$（$6\le N\le 40,1\le K\le 6$）

第二行是一个长度为 $N$ 的数字串。

输出格式

结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

输入输出样例

输入 #1复制

4  2
1231

输出 #1复制

62

说明/提示

NOIp2000提高组第二题

思路

每一段区间的答案可以分解成两个小区间去做，考虑用区间dp(记忆化搜索）

由于乘积的结合律和交换律（？），一段区间的dp值即为乘积，转移时可以直接相乘

关于具体地转移，枚举乘号放在什么位置（注意下标不要越界），左右各有几个乘号

关于递归边界，一开始我有点发蒙，但是实际上就是在k（乘号数）==0时直接返回这个数就可以

最后，实际上这题要AC还需要高精，不过我没写

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n,k;
ll dp[45][45][10];
char s[45];
ll calc(int l,int r)
{
	ll cnt=1,ans=0;
	for(int i=r;i>=l;i--)
	{
		ans+=cnt*(s[i]-'0');
		cnt*=10;
	}
	return ans;
}

ll solve(int l,int r,int k)
{
	//if(l>r) return 0;
	if(!k) return dp[l][r][k]=calc(l,r);
	if(dp[l][r][k]) return dp[l][r][k];
	dp[l][r][k]=0;
	for(int i=l;i<r;i++)
		for(int j=0;j<k;j++) //左边j个乘号，右边k-j-1个 
		{	
			if(i-l>=j&&r-(i+1)+1-1>=k-j-1)
				dp[l][r][k]=max(dp[l][r][k],solve(l,i,j)*solve(i+1,r,k-j-1)),
				dp[l][r][k]=max(dp[l][r][k],solve(l,i,k-j-1)*solve(i+1,r,j));
		}
//	printf("dp[%d][%d][%d]=%lld\n",l,r,k,dp[l][r][k]);
	return dp[l][r][k];
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&k);
	scanf("%s",s+1);
	printf("%lld",solve(1,n,k));
	return 0;
}
//4 2 1231