泛函分析知识点总结

1.Baire定理

定理 （Baire纲定理） 完备的距离空间是第二类型集。

解释：完备的距离空间$(X,d)$，$\forall x \in X$ 都是内点，因为$X$在$X$中是开集。一个无处稠密（nowhere dense）的集合就是闭包不含内点的集合不会是整个$X$，即$X$不是第一类型集，所以只能是第二类型集。

注：完备的距离空间是第二类型集，那么它的闭包至少存在一个内点。这个经常被用来证明。例如，开映射定理、闭图像定理等。

 

2. 闭包和导集的区别

根据定义，集合的闭包是集合的导集和集合的并。导集是集合所有聚点组成的集合，不包含孤立点。所以闭包是集合导集和孤立点组成的集合。

 

3.闭集

在度量空间中，如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。

 

4.不动点定理

 压缩映射：设$(X,d)$是距离空间，$T$是$X$到$X$的映射，如果存在一个常数$\theta (0 \le \theta  <1)$，对于所有的$x,y \in X$，满足下述不等式：

$d(Tx,Ty)<\theta d(x,y)$

则称$T$是$X$上的一个压缩映射。

不动点定理：设$X$是完备的距离空间，$T$是$X$到$X$的压缩映射，则$T$在$X$上有唯一的不动点$x^*$.即$Tx^*=x^*$是方程$Tx=x$在$X$上的唯一解。

 

5.施密特正交化

将一个线性无关的集合$\{x_n\}$进行施密特正交化。

$$e_1=\frac{x_1}{||x_1||}$$

$$e_2=\frac{x_2-<x_2,e_1>e_1}{||x_2-<x_2,e_1>e_1||}$$

$$e_{j+1}=\frac{x_{j+1}-\sum \limits_{k=1}^{j}<x_{j+1},e_k>e_k}{||x_{j+1}-\sum \limits_{k=1}^{j}<x_{j+1},e_k>e_k||}$$

注：本质上说就是让$x_{j+1}$减去其在$e_k,k=0,\ldots,j$上的分量，就正交化了。然后再除以对应范数，进行单位化。

 

6.Hilbert空间的同构

n为的实（复）Hilbert空间与$R^n$($C^n$)同构。（保距离，保线性，保范数，保内积）

无限维可分Hilbert空间与$l^2$空间（$L^2[0,1]$）等距同构。

 

7.算子的连续性和有界性

连续性：对于$X$中的任何收敛于$x_0$的点列$\{x_n\}$，恒有$Tx_n \to Tx_0,n \to =\infty$

有界性：存在正常数$M$，使得对一切$x \in X$，有$||Tx|| \le M||x||$

一点连续，则处处连续：设X和Y是数域\textbf{F}上的线性赋范空间，$T:X \to Y$ 是一个线性算子。如果T在某一点$x_0$连续，则T在X上连续。

连续和有界的等价性：设X和Y是数域\textbf{F}上的线性赋范空间，$T:X \to Y$ 是一个线性算子。则T连续的充分必要条件使T有界。

 

8.算子范数

设X和Y是数域\textbf{F}上的线性赋范空间，$T:X \to Y$ 是一个线性算子。令
$$||T||= \mathop {\sup }\limits_{x \ne 0} \frac{||Tx||}{||x||}$$
则称$||T||$为T的\textbf{算子范数}，简称为\textbf{范数}。

$$||T||  =\sup \{ ||Tx||:||x|| \le 1,~x \in X \}=\sup \{ ||Tx||:||x||= 1,~x \in X \}=\inf \{ M:||Tx|| \le M||x||,~\forall x \in X \}$$

 

9. 开映射定理、逆算子定理、闭图像定理

开映射定理： 设T是Banach空间X上到Banach空间Y上的有界线性算子，则T是一个开映射。

逆算子定理：设T是Banach空间X上到Banach空间Y上一一对应的有界线性算子，则T的逆算子$T^{-1}$是有界线性算子。

等价范数定理：设线性空间X上的两个范数$||\cdot||_1$和$||\cdot||_2$都能使X成为Banach空间，并且存在常数C，使得对于任意的$x \in X$有

$$||x||_2\le C||x||_1$$
则称$||\cdot||_1$和$||\cdot||_2$等价。

注：用逆算子定理证明等价范数定理的精华就是构造了一个一一对应的有界线性算子，即构造单位算子，简直神来之笔。

闭图像定理：设T是Banach空间X上到Banach空间Y上闭线性算子，则T是有界线性算子。

 

10.弱收敛

弱收敛：$X$是赋范线性空间，$\{x_n\} \subset X$，如果存在$x \in X$，使得对于任意的$f \in X^*$，有$\lim \limits_{n \to +\infty}f(x_n)=f(x)$，则称$\{x_n\}$弱收敛于$x$,记为${x_n}\mathop  \to \limits^w x$

强收敛：$X$是赋范线性空间，$\{x_n\} \subset X$，如果存在$x \in X$，使得$\lim \limits_{n \to +\infty}||x-x_n||=0$，则称$\{x_n\}$强收敛于$x$,记为${x_n}\mathop  \to\limits^{s} x$

弱*收敛：$X$是赋范线性空间，$\{f_n\} \in X^*$，对于任意的$x \in X$，恒有$f_n(x) \to f_0(x),n \to +\infty$，则称$\{f_n\}$弱*收敛于$f_0$

 

11.对偶算子

设$X,Y$是赋范线性空间，$T \in B(X,Y)$.$T$的对偶算子是指$T^*:Y^* \to X^*$,
$$((T^*f)(x)=f(Tx)), \forall f \in Y^*,x \in X$$

设$X,Y$是赋范线性空间，$T \in B(X,Y)$,则$T^*$是有界线性算子，而且$||T^*||=||T||$.
注：可能会出性质的相关证明，要求对定义很熟

 

12.谱理论

复数空间由预解集$\rho (T)$和谱点构成$\sigma (T)$。$C=\rho (T) + \sigma (T)$

其中，谱点由点谱、连续谱和剩余谱构成。

点谱：$\sigma_p(T)=ker(\lambda I-T)$，是特征值的全体；

连续谱：$\sigma_c(T)=\{\lambda \in C: ker(\lambda I-T)=\{0\},\overline {R(\lambda I -T)}=X,R(\lambda I -T) \ne X\}$

剩余谱：$\sigma_r(T)=\{\lambda \in C: ker(\lambda I-T)=\{0\},\overline {R(\lambda I -T)} \ne X\}$

 

13.一致有界定理

设$X$是Banach空间，$Y$是赋范线性空间，$W \subset B(X,Y)$. 如果对于任意的$x \in X$,$sup\{||Tx||:T \in W \}=M(x) < +\infty$，则

$$sup\{||T||: T \in W\} < +\infty$$

等价地说$\{||T||:T \in W\}$为有界集。

 

14.Riesz表示定理

若$f: H \to F$是Hilbert空间$H$上的有界线性泛函，则存在唯一的$x_0 \in H$，使得对任意的$x \in H,f(x)=<x,x_0>$,并且有$||f||=||x_0||$