剪绳子

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题目描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长的 m 段（ m 、 n 都是整数， n > 1 并且 m > 1 ， m <= n ），每段绳子的长度记为 k[1],...,k[m] 。请问 k[1]k[2]...*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是 8 时，我们把它剪成长度分别为 2、3、3 的三段，此时得到的最大乘积是 18 。

数据范围： 2 <= n <= 60
进阶：空间复杂度 O(1) ，时间复杂度 O(n)

实例1

输入：

8

返回值：

18

说明：8 = 2 +3 +3 , 2*3*3=18

实例2

2

返回值：

1

2>1，所以切成两段长度是1的绳子

题目分析

暴力递归

分析

一、递归函数的设计和功能：back_track(n); 含义是：求长度为n的数，最后分段后的最大乘积，这里我们不需要关心分成多少段

二、递归函数的终止条件: 如果n <= 4, 显然back_track(n) = n，初始条件也就是我们不用计算就能得到的。

三、下一步递归：对于长度n，我们需要减少递归参数n，如果第一段为1， 显然下一步递归为back_track(n-1),如果第一段为2， 则下一步递归为 back_track(n-2)...因为要至少分2段，所以，最后一次可能的情况为最后一段为n-1, 下一步递归为back_track(1)， 因此，每一步可能的结果为1 * back_track(n-1), 2 * back_track(n-2), ..., (n-1) * back_track(1),在n-1种情况中取一个最大值即可。这里我们不用关系back_track(n-1)等的值为多少，因为最终会递归到我们的终止条件，因此绝对是可以求出来。

public static int cutRope(int target) {
        // 2和3 分段的话，分2段和一段的结果是不一样的
        if (target == 2) {
            return 1;
        } else if (target == 3) {
            return 2;
        }
        return back_track(target);
    }

    private static int back_track(int target) {
        //
        if (target <= 4) {
            return target;
        }
        int ret = 0;
        for (int i = 1; i < target; i++) {
            ret = Math.max(ret, i * back_track(target - i));
        }
        return ret;
    }

数学方式

分析： 在做这题之前我们先来看这样一个问题，一个整数先把他分成两部分，x+y=n（假设x>=y并且x-y<=1,也就是说x和y非常接近）那么乘积是xy。然后我们再把这两部分的差放大(x+1)+(y-1)=n(假设x>=y)；他们的乘积是（x+1）(y-1)=xy-(x-y)-1，很明显是小于xy的，所以我们得出结论，如果把整数n分为两部分，那么这两部分的值相差越小乘积越大。

SO

/**
     * 数学方式的解法
     * @param target
     * @return
     */
    public static int cutRope2(int target) {
        if(target == 2 || target == 3) {
            return target - 1;
        }
        int ret = 1;
        while (target > 4) {
            target = target - 3;
            ret = ret * 3;
        }
        return target * ret;
    }