数论基础学习总结（持续补充中）
数论基础
算术基本定理（唯一分解定理）
任何一个大于1的自然数都可以唯一分解成有限个素数的乘积
$N=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times...\times p_n^{a_n} | p_1<p_2<...<p_n ,a_i\in Z$
上式中$p_i$为素数
有关素数筛
埃式筛法
就是拿一个已经筛选出的素数去排掉其他的数，比如2是素数，就用他筛掉2*2，2*3，2*4……，3是素数，就用他筛掉3*2，3*3，3*4……，把每个素数的倍数都筛掉，不过我们发现，3*2事实上已经在2的时候筛掉过了，即比这个数小的倍数都已经被筛过了，所以我们只要从这个数的平方开始筛就可以了。这个筛法最容易理解也最好写，一定要会写！经过这个筛法，能打素数表，能判定一个数是不是素数。复杂度O(nloglogn)。也可以用这种筛法筛出因子。
1 const int N=1e6+7; 2 bool isprime[N]; 3 int prime[N];//储存素数，打表 4 void db() 5 { 6 memset(isprime,1,sizeof(isprime));//这步事实上不太好，不过因为是bool类型所以不影响结果 7 isprime[0]=isprime[1]=0; 8 int cntp=0; 9 for(long long i=2;i<N;i++) 10 { 11 if(isprime[i]) 12 { 13 prime[cntp++]=i; 14 for(long long j=i*i;j<N;j+=i)//i*i会爆int所以用ll 15 isprime[j]=0; 16 } 17 } 18 }
欧拉线性筛法
正常情况下就算是没有优化的埃式筛法应该也是够用的，但是我们发现埃式筛法还是不是最快的，比如12这个数会被2和3筛两次，诸如此类的重复会降低效率。所以我们给出欧拉线性筛法。这个筛法自然比较难理解一点，其思路是这样的，从2开始，将这个素数和之前筛出的所有素数的乘积都判负，如果碰到i是一个合数，也用他去筛，但在筛的循环中碰到一个是他因子的素数就跳出（一个合数必定能表示成至少一个素数参与的分解式），达到避免重复筛的目的，然后一个循环后就筛出了素数。这个方法比较难理解，我也不是很能感受到这个方法的正确性，不过据说用反证法能进行证明。复杂度O(n)。
线性筛还能用在处理其他积性函数上。
1 const int N=1e6+7; 2 bool isprime[N]; 3 int prime[N]; 4 void db() 5 { 6 memset(isprime,1,sizeof(isprime)); 7 isprime[0]=isprime[1]=0; 8 int cntp=0; 9 for(int i=2;i<N;i++) 10 { 11 if(isprime[i]) 12 prime[cntp++]=i; 13 //这一部分是精髓所在也是难理解的部分，不管i是否是素数，都进循环去筛，i是合数时中途会跳出，达到减少重复筛的目的 14 for(int j=0;j<cntp&&i*prime[j]<N;j++) 15 { 16 isprime[i*prime[j]]=0; 17 if(!(i%prime[j])) 18 break; 19 } 20 } 21 }
有关因子
求因子个数
前置定理：若p是一个素数，a是一个正整数，那么有$\tau(p^a)=a+1$。
定理：若正整数n有质因数分解$n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times...\times p_k^{a_k}$，则$\tau(n)=(a_1+1)\times(a_2+1)\times...\times(a_k+1)$。
我们需要先打出一张素数表才能套用这个。
1 int factor_count(int n) 2 { 3 int ans=1; 4 int cnt; 5 int k=sqrt(n)+1; 6 for(int i=0;prime[i]<k;i++) 7 { 8 if(n%prime[i]==0) 9 { 10 cnt=0; 11 while(n%prime[i]==0) 12 { 13 cnt++; 14 n/=prime[i]; 15 } 16 ans*=(cnt+1); 17 } 18 } 19 if(n>1)//这一步是因为只筛到根号n，可能会留最后一个因子，此时需要再算上这个因子 20 ans*=2; 21 return ans; 22 }
素因子筛
利用埃式筛法处理，复杂度O(nloglogn)
1 const int maxn=1e5+7; 2 void db() 3 { 4 vector<int> d[maxn]; 5 for(int i=2;i<maxn;i++) 6 if(d[i].empty()) 7 { 8 for(int j=2*i;j<maxn;j+=i) 9 d[j].push_back(i); 10 } 11 }
有关GCD
辗转相除法
1 long long gcd(long long a,long long b) 2 { 3 return b?gcd(b,a%b):a; 4 }
扩展欧几里得
1 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) 2 { 3 if(b==0) 4 { 5 x=1,y=0; 6 return a; 7 } 8 long long gcd=exgcd(b,a%b,y,x); 9 y-=a/b*x; 10 return gcd; 11 }
欧拉定理
费马小定理
设p是质数，a是与p互质的任意整数，那么有：$a^{p-1}\equiv1(mod\ p)$
欧拉定理
设m>1为整数，a是与m互质的任意整数，那么有：$a^{\varphi(m)\equiv1(mod\ m)}$
其中$\varphi(m)$为欧拉函数，表示小于m且与m互质的正整数的个数。
欧拉降幂
$a^{x}\ mod\ m=a^{x+\varphi(m)\ mod\ \varphi(m)}mod\ m$
