CodeForces 1081E Missing Numbers <<数学

题意

有一个前缀和是平方数的序列，也就是一个严格递增平方数的差分序列，奇数项丢了，给出偶数项，要求输出所有项。

思路

首先列出一个式子，对于题设差分序列中的一项c，必定要满足有$a^2-b^2=c$，即$(a-b)\times(a+b)=c$，那么现在已知c，如何定出a和b呢，很容易想到把c因式分解，使$(a-b)$,$(a+b)$为c的一对因子即可。设其中一个因子为x，不妨设x为一对之中大的那个因子，那么令$a+b=x$,$a-b=c/x$联立两式可解得，$2a=x+c/x$,$2b=x-c/x$。那么a，b存在的充分必要条件就是这对因子和（差）为偶数即可，换言之，一对和（差）为偶数的因子即可构造出c，且其他所有的数都不能构造出c（不会证明，可能是错的）。

推进到这里，我们就可以开始构造题目要求的序列了。针对每个数，我们都选择构造尽量小的平方数，这样保证在之后的构造中能够有更多的选择。在构造当前数的选择上，已经有的前缀和为now，那么当前数就为$b^2-now^2$。

进行上述步骤，哪步进行不下去就No。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+7;
int arr[maxn];
vector<int> fac[maxn];
long long ans[maxn];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    n/=2;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d",&arr[i]);
        for(int j=1;j<sqrt(arr[i]);j++)
        {
            if(arr[i]%j==0)
                fac[i].push_back(arr[i]/j);
        }
        sort(fac[i].begin(),fac[i].end());
    }
    int now=0;
    bool flag=1;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<fac[i].size();j++)
        {
            int a=fac[i][j],b=arr[i]/a;
            if((a+b)%2) continue;
            int aa=(a+b)/2,bb=(a-b)/2;
            if(bb<=now) continue;
            else{
                ans[i]=1LL*bb*bb-1LL*now*now;
                now=aa;
                break;
            }
        }
        if(ans[i]==0) flag=0;
        if(!flag) break;
    }
    if(!flag) puts("No");
    else {
        puts("Yes");
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            printf("%lld %d ",ans[i],arr[i]);
        }
    }

}

后记

推公式真好玩。