天天爱跑步题解（洛谷P1600）
洛谷P1600 [NOIP2016 提高组] 天天爱跑步
一、大致分析
数据范围中有提示树可能退化为一条链，所以模拟时间复杂度可以达到\(O(nm)\)，显然过不了。
继续分析题目，可以发现对于一条从\(s_i\)到\(t_i\)的路径可以\(s_i\)与\(t_i\)的最近公共祖先\(lca_i\)分为两段对于其上某点符合要求的\(k\)，有：
若\(k\)在上行段，则\(deep_k + w_k = deep_{s_i}\)
若\(k\)在下行段，则\(dist_{{s_i},{t_i}} - w_k = deep_{t_i} - deep_k\)，即\(dist_{{s_i},{t_i}} - deep_{t_i} = w_k - deep_k\)
除了以上两个式子外，又注意到能对\(k\)产生贡献的路径其起点及终点必然在以\(k\)为根的子树上，所以可以开两个数组，并在深度优先遍历时以上式左侧的方式记录，并以右式的方式统计。
但此处需要注意，\(k\)被经过的次数并不是向下递归直接通过数组查询，而是递归完子树后的值与进入子树之前的值之差。
二、代码&一些细节
1.输入：
普通的读入，不专门放代码了。
2.求LCA：
int fa[MAXN], siz[MAXN], son[MAXN], dep[MAXN] = {0}, top[MAXN];
void setup(int x, int fat)
{
fa[x] = fat;
siz[x] = 1, son[x] = -1;
dep[x] = dep[fat] + 1;
for (int i = head[x]; ~i; i = e[i].nxt)
{
int y = e[i].to;
if (y == fat)
continue;
setup(y, x);
siz[x] += siz[y];
if (son[x] == -1 || siz[son[x]] < siz[y])
son[x] = y;
}
}
void cut(int x, int t)
{
top[x] = t;
if (son[x] == -1)
return ;
cut(son[x], t);
for (int i = head[x]; ~i; i = e[i].nxt)
{
int y = e[i].to;
if (y != fa[x] && y != son[x])
cut(y, y);
}
}
int getLca(int x, int y)
{
while (top[x] != top[y])
{
if (dep[top[x]] > dep[top[y]])
x = fa[top[x]];
else
y = fa[top[y]];
}
return (dep[x] < dep[y]) ? x : y;
}
比较模版的树剖求LCA （不想开二维数组写倍增，其他的不会），不解释了。
3.预处理
void add1(int x, int y)
{
e1[++tot1].to = y;
e1[tot1].nxt = head1[x];
head1[x] = tot1;
}
void add2(int x, int y)
{
e2[++tot2].to = y;
e2[tot2].nxt = head2[x];
head2[x] = tot2;
}
int main()
{
input();
setup(1, 0);
cut(1, 1);
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int lca = getLca(s[i], t[i]);
dist[i] = dep[s[i]] + dep[t[i]] - 2 * dep[lca];
st[s[i]]++;
add1(t[i], i);
add2(lca, i);
if (dep[lca] + w[lca] == dep[s[i]])
ans[lca]--;
}
return 0;
}
\(dist_i\)：第i条路径的长度
\(st_i\)：以i为起点的路径的数量
\(add1\)：以链式前向星存储以i为开头的路径的集合
\(add2\)：以链式前向星存储以i为起点及终点的最近公共祖先的路径的集合
需要注意的是，若路径的起点或终点与LCA重合，且此处符合要求，则会被统计两次，因此提前减去。
if (dep[lca] + w[lca] == dep[s[i]]) ans[lca]--;
4.最后一次深搜统计答案
int bu1[MAXN * 2], bu2[MAXN * 2];
void dfs(int x)
{
int t1 = bu1[w[x] + dep[x]], t2 = bu2[w[x] - dep[x] + MAXN];//记录进入子树前数组状态
for (int i = head[x]; ~i; i = e[i].nxt)
{
int y = e[i].to;
if (y != fa[x])
dfs(y);
}
bu1[dep[x]] += st[x];//上行段答案
for (int i = head1[x]; ~i; i = e1[i].nxt)//下行段答案
{
int y = e1[i].to;
bu2[dist[y] - dep[t[y]] + MAXN]++;
}
ans[x] += bu1[w[x] + dep[x]] - t1 + bu2[w[x] - dep[x] + MAXN] - t2;//统计答案
for (int i = head2[x]; ~i; i = e2[i].nxt)//以当前x为LCA的路径不会 对其祖宗节点和兄弟节点产生贡献
{
int y = e2[i].to;
bu1[dep[s[y]]]--;
bu2[dist[y] - dep[t[y]] + MAXN]--;
}
}
\(bu1\)：用以存储上行段的贡献
\(bu2\)：用以存储下行段的贡献，\(dist_{{s_i},{t_i}} - deep_{t_i}\)可能小于\(0\)，故加上\(MAXN\)。
5.输出：
没什么可说。
6.最终个人代码：
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 3e5;
struct Edge
{
int to, nxt;
} e[MAXN * 2], e1[MAXN], e2[MAXN];
int n, m, w[MAXN], s[MAXN], t[MAXN], tot = -1, head[MAXN];
int fa[MAXN], siz[MAXN], son[MAXN], dep[MAXN] = {0};
int dfn[MAXN], rnk[MAXN], top[MAXN], cnt = 0;
int dist[MAXN], st[MAXN] = {0}, ans[MAXN] = {0};
int tot1 = -1, tot2 = -1, head1[MAXN], head2[MAXN];
int bu1[MAXN * 2], bu2[MAXN * 2];
void add(int x, int y)
{
e[++tot].to = y;
e[tot].nxt = head[x];
head[x] = tot;
}
void add1(int x, int y)
{
e1[++tot1].to = y;
e1[tot1].nxt = head1[x];
head1[x] = tot1;
}
void add2(int x, int y)
{
e2[++tot2].to = y;
e2[tot2].nxt = head2[x];
head2[x] = tot2;
}
void input()
{
memset(head, -1, sizeof(head));
memset(head1, -1, sizeof(head1));
memset(head2, -1, sizeof(head2));
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i < n; i++)
{
int x, y;
scanf("%d %d", &x, &y);
add(x, y);
add(y, x);
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", w + i);
for (int i = 1; i <= m; i++)
scanf("%d %d", s + i, t + i);
}
void setup(int x, int fat)
{
fa[x] = fat;
siz[x] = 1, son[x] = -1;
dep[x] = dep[fat] + 1;
for (int i = head[x]; ~i; i = e[i].nxt)
{
int y = e[i].to;
if (y == fat)
continue;
setup(y, x);
siz[x] += siz[y];
if (son[x] == -1 || siz[son[x]] < siz[y])
son[x] = y;
}
}
void cut(int x, int t)
{
top[x] = t;
dfn[x] = ++cnt;
rnk[dfn[x]] = x;
if (son[x] == -1)
return ;
cut(son[x], t);
for (int i = head[x]; ~i; i = e[i].nxt)
{
int y = e[i].to;
if (y != fa[x] && y != son[x])
cut(y, y);
}
}
int getLca(int x, int y)
{
while (top[x] != top[y])
{
if (dep[top[x]] > dep[top[y]])
x = fa[top[x]];
else
y = fa[top[y]];
}
return (dep[x] < dep[y]) ? x : y;
}
void dfs(int x)
{
int t1 = bu1[w[x] + dep[x]], t2 = bu2[w[x] - dep[x] + MAXN];
for (int i = head[x]; ~i; i = e[i].nxt)
{
int y = e[i].to;
if (y != fa[x])
dfs(y);
}
bu1[dep[x]] += st[x];
for (int i = head1[x]; ~i; i = e1[i].nxt)
{
int y = e1[i].to;
bu2[dist[y] - dep[t[y]] + MAXN]++;
}
ans[x] += bu1[w[x] + dep[x]] - t1 + bu2[w[x] - dep[x] + MAXN] - t2;
for (int i = head2[x]; ~i; i = e2[i].nxt)
{
int y = e2[i].to;
bu1[dep[s[y]]]--;
bu2[dist[y] - dep[t[y]] + MAXN]--;
}
}
int main()
{
input();
setup(1, 0);
cut(1, 1);
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int lca = getLca(s[i], t[i]);
dist[i] = dep[s[i]] + dep[t[i]] - 2 * dep[lca];
st[s[i]]++;
add1(t[i], i);
add2(lca, i);
if (dep[lca] + w[lca] == dep[s[i]])
ans[lca]--;
}
dfs(1);
for (int i = 1; i <= n; i++)
printf("%d ", ans[i]);
printf("\n");
return 0;
}
