02-gnp-smallworld 图机器学习之最小世界
本节重点：如何衡量一个网络 （网络量化）
网络的关键属性：
1. 度的分布：P（k）
2. 路径长度：h
3. 集聚系数（clustering coefficient）：C
4. 连通分量（connected components）：s
1. 度的分布 degree distribution：P（k）
统计每个节点的度，形成归一化后的直方图
2. 路径
3. 距离：最短路径
4. 直径：网络中任意节点最短距离的最大值
5. 平均路径长度（针对连通图或强连通的有向图）
6. 集聚系数（无向图）：
首先，看单个节点，其与邻居的连接关系如何。例如节点i，他的度为ki,ei是节点i的邻居间的边的数量
平均集聚系数：
7. 连通性： 最大连通分量（子图/分支）的尺寸，使用BFS广度优先方式
接下来开始量化现实世界中的网络
MSN的联系网络
对分布取log
集聚：
度对应的集聚系数
弱连通分支尺寸的统计：
若连同分支的半径：
平均路径长度为6.6,90%的节点可最小经由8跳后连接
随机图模型 Erdös-Renyi Random Graphs
两类变量（针对无向图）：
Gnp：n个节点，边的出现（顶点相连）满足概率p
Gnm：n个节点，均匀随机选取m个边
n和p不能唯一确定一个图谱，该图谱是随机过程的结果
Gnp的属性：
度的分布：p(k) —— 满足二项分布
路径长度：h
集聚系数: C
p（k)表示度为k的节点的概率
k- 表示度的期望
均值，和方差可通过公式计算
根据大数定律，随着网络规模的增大，分布变得越来越窄，因而可以确定一个点的度在k附近
随机模型的集聚系数较小
如果我们生产不同网络规模但平均度为k的网络，随着网络规模的增大，集聚系数以C的倍数衰减
膨胀Expansion：
图G(V,E)的膨胀α：
事实上，对于一个节点数为n，expansion为α的图，对于所有节点的对，路径长度O((log n)/α).
随机图具有良好的可扩展性，因此BFS访问所有节点需要对数步长
随机图的规模可以变得很大，但节点间的距离会保持在较小的数
对随机图的评估：
（
Giant Component
一个规模很大的网络中，可能存在多于一个的连通分支/连通分量（Connected Component），即网络中并非所有节点都连通。但是在真实网络中通常存在一个规模很大的连通分支（即Giant Component）会包含网络中大多数的节点（比如超过80%的节点）。
如果一个人刚注册人人，还没加好友，那他就是一个孤立点（没有和任何其他点相连）。而一旦有了好友，就不再是孤立点。如果某个学校规定学生在人人只能加本校好友，不能有外校好友，那么这个学校的学生也会构成一个小的独立的连通分支。不过可以想到，人人里绝大多数的同学都处在一个超大的连通分支中，真正孤立的节点或小的连通分支所占用户数是很少的。
Facebook的数据显示约99.7%的用户处在一个超大的Giant Component中。
随机图的图结构随p变化的示意图：
当p==0时，该图各节点无连接
当p==1/(n-1)，即平均度为1时，出现giant component
当p==c/(n-1)时，平均度为一常数,但有多数的孤立点
当p==log(n)/(n-1)时，更少的孤立点
当p==（2*log(n)）/(n-1)时，没有孤立点
当p==1时，为完全连通图
giant component的出现：（这个没太看懂）
通过MSN验证上面的推论：
1. 度的分布：二项分布→不成立
2. 平均路径长度：O(log n) MSN中，n为180M，log n≈8.2 实际为6.6 →满足推论
3. 集聚系数: 度的期望/节点个数 约在8*10-8 不等于0.11→不满足推论
4. 最大连通分量：若度的平均期望>1，则giant component存在，实际上包含99%的点→满足推论
因此，在在很大程度上，现实世界的网络，并不是随机图
随机图存在的问题：
度的分布与现实世界的网络不同
在大多数真实的网络中，giant component并不是通过phase transition产生的
集聚系数太低
既然如此，我们为什么还有学习随机图模型？
因为：
他是其他类型模型的参考模型
帮助我们理解和计算许多属性，从而与真实数据做比对
它将帮助我们理解某一特性在多大程度上是某个随机过程的结果
因此：
虽然随机图模型不实际，但是很有用！
最小世界模型 the small world model
在具有高集聚的情况下同时路径最短？
在上面的推理中，MSN网络的集聚系数的量级比随机图的高7个量级
其他一些真实网络的例子，如：
演员合作网络，电网网络，神经元网络，他们的平均路径长度与随机网络的量级一致，但集聚稀疏的量级比随机网的大
最小世界：高集聚，半径的量级为log n
集聚意味着边缘的局部性
随机性使得捷径存在
最小世界模型的两个成分：
1. 从一个低维规则的晶体开始
在例子中，我们使用一个环作为晶体
拥有高的集聚系数
2. 连接：引入随机性 （捷径）
添加/删除边，用于生成连接较远的晶体间的捷径
对于每一条边，移动另一端点到随机端点的概率为p
下图中，横轴为移动概率p，左纵轴为集聚系数，右纵轴为平均路径长度，可以看出，p的概率越大，集聚系数下降，平均路径长度下降。从降低的斜率来看，需要较大的随机性来破坏集聚性，但较小的就能创造最短路径。
如何创造一个最小世界？—— 一些随机的连接
Watts Strogatz Model:
提供了集聚性与最小世界的相互作用
捕捉许多现实网络的结构
现实网络的高集聚性
没有引向正确的度分布？？？（不太确定）
Kronecker Graph Model
创建大的真实图谱
设想：如果我们递归生成网络会怎么样？
递归生成网络的结构会是怎样的？→ 自相似性
对象类似于自身的一部分：整体与一个或多个部分形状相似
模拟递归的图谱生成/社区增长：
Kronecker product
克罗内克积：是生成自相似矩阵的方式
定义两个图的克罗内克积，主要是使用两图的连接矩阵
克罗内克图是通过图的克罗内克积的迭代生成的
随机克罗内克图：
1. 生成n*n的概率矩阵
2. 计算概率矩阵的克罗内克积
3. 对于最后的结果，每个元素表示两个端点间的连接概率
得到概率矩阵后如何得到图？ 抛硬币？ 那这样需要抛n²次的硬币，太慢
是否有更快的方式？
是的
设想：探索克罗内克图的递归结构
逐个将图的边放置？那么如何放置一个具备n=2^m个端点的图的边？→ 拆解并重插入
快速生成克罗内克图的算法：（理解得不是很透）
真实网络与克罗内克较为相似
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