《大话数据结构》--- 第六章 树

树是n个结点的有限集。n = 0时称为空树。在任何一棵非空树中：

(1)有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；

(2)当n > 1时，其余节点可分为位数个互不相交的有限集，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

 

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树树称为结点的度。度为0的结点称为叶结点或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各节点的度的最大值。

 

结点的子树的根称为该结点的孩子，相应的，该结点成为孩子的双亲。同一个双亲的孩子之间互称兄弟。结点的祖先是从跟到该结点所经分支上的所有结点。以根结点为根的子树中的任意结点都称为该结点的子孙。

 

结点的层次从根定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。双亲在同一层的结点互为堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度或高度。

 

如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能交换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。

 

森林是m棵不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。

 

线性结构和树结构的区别

第一个数据元素 无前驱；根结点 无双亲 唯一。

最后一个数据元素 无后继；叶结点 无孩子 可以多个。

中间元素 一个前驱 一个后继；中间结点 一个双亲 多个孩子。

 

存储结构的设计是一个非常灵活的过程，一个存储结构设计得是否合理，取决于基于该存储结构的运算是否适合、是否方便，时间复杂度等。

 

树的存储结构

1.双亲表示法

每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置。每个结点有一个域存储最左边孩子 可称为长子域。再使用一个右兄弟域存储兄弟的下标。

 

2.孩子表示法

每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一颗子树的根结点，我们把这种方法叫做多重链表表示法。

把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点由n个孩子链表，如果是叶子节点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中。

 

3.孩子兄弟表示法

任何一棵树，它的结点第一个孩子如果存在就是唯一，它的有兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

 

二叉树是n个结点的有限集合，该集合或者为空集（空二叉树），或者有一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

 

二叉树的特点： 

1.每个结点最多有两棵子树。

2.左子树和右子树有顺序的，次序不能任意颠倒。

3.即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

 

特殊的二叉树:

左|右斜树：所有的结点都只有左|右子树的二叉树叫左|右斜树。

满二叉树：在一棵二叉树中，所有的分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

完全二叉树：对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树编号为i的结点在二叉树中位置完全相同。

                       满二叉树一定是完全二叉树。               

 

完全二叉树的特点：

1.叶子结点只能出现在最下两层。

2.最下层的叶子一定集中在左部连续位置。

3.倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。

4.如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况。

5.同样节点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

 

二叉树的性质：

1.在二叉树的第i层上至多有2^i-1个结点。

2.深度为k的二叉树之多有2^k-1个结点。

3.对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n₀，度为2的结点树为n₂，则n₀=n₂+1。

4.具有n个结点的完全二叉树的深度为（Log₂n） + 1。

5.如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，对任意结点i有：

    1.如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点。

    2.如果2i>n,则结点i无左孩子，否则其左孩子是结点2i。

    3.如果2i+1>n，则结点i无有孩子；否则其有孩子是结点2i+1。

 

树的顺序存储结构：

把结点按照深度，从左到右依次排序，空则记为^。通常只适用于完全二叉树。

 

二叉链表：二叉树每个结点最多有两个孩子，所以设计一个数据域和两个指针域。

 

二叉树的遍历：从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

 

前序遍历：从根结点开始，前序遍历左子树，再前序遍历右子树。

中序遍历：从叶结点开始，先遍历该侧子树，再从另一侧子树叶结点开始遍历。

后序遍历，从左到右，先叶子后结点的遍历左右子树最后访问根结点。

层序遍历：规则是从树的第一层，即根结点开始访问，从上而下，从左而右的逐层遍历。

 

指向前驱和后继的指针叫做线索，加上线索的二叉树链表称为线索链表，相应的二叉树就成为线索二叉树。

二叉树以某种次序遍历使其变为线索二叉树的过程称作是线索化。

 

树转化为二叉树：

1.给所有兄弟结点之间架一条连线。

2.对树中每个结点，只保存他与第一个孩子结点的连线，删除与其他孩子的连线。

3.调整层次。

 

二叉树转化为树：

1.若某结点的做孩子结点存在，则将这个做孩子的右孩子结点、一直到做孩子的第n个右孩子结点都作为此结点的孩子。连线。

2.删除原二叉树中所有结点与其有孩子结点的连线。

3.调整层次。

 

赫夫曼树：从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成两个结点之间的路径，路径上的分支数目叫做路径长度。树的路径长度就是从树根到每一结点的路径长度之和。其中带权路径长度WPL最小的二叉树叫做赫夫曼树。

 

若要设计长短不等的编码，则必须是任意字符的编码都不是另一个字符的编码的前缀，这种编码称作前缀编码。

 

一半的，设需要编码的字符即为d1，d2....dn，各个字符在电文中出现的次数或频率集合为w1，w2...wn，以d1，d2....dn作为叶子结点，以w1，w2...wn作为相应叶子节点的全职来构造一棵赫夫曼树。规定赫夫曼树的左分支代表0，右分支代表1，则从根结点到叶子结点所经过的路径分支组成的0和1的序列变为该节点对应字符的编码，这就是赫夫曼编码。