数学基础知识、常用公式总结|Colourso

特殊数字

自然常数 e = 2.71828183，是一个无限不循环小数。

圆周率 pi = 3.1415926

充分与必要条件

假设A是条件，B是结论

（1）由A可以推出B，由B可以推出A，则A是B的充要条件(A=B)

（2）由A可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的充分不必要条件(A⊆B)

（3）由A不可以推出B，由B可以推出A，则A是B的必要不充分条件(B⊆A)

（4）由A不可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的既不充分也不必要条件(A￠B且B￠A)

常用不等式

1.两数绝对值之差的绝对值小于等于两数之差的绝对值

\[||a| - |b| | \leq |a-b| \]

2.一个正数加它的倒数恒大于等于2

\[a + \frac{1}{a} - 2 \\ = \frac{a^2 + 1 -2a}{a} \\ = \frac{(a-1)^2}{a} \\ \geq 0 \\ 故 a + \frac{1}{a} \geq 2 \]

3.基本不等式：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

\[\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a+b}\\ \\ \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a+b} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \\ 平方平均 \qquad 代数平均 \qquad 几何平均 \qquad 调和平均\\ \]

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

则 2ab < a^2 + b^2，两个或者三个数相乘时就要想到他。

4.sin x与x与tan x之间的关系

\[\sin x < x < \tan x \qquad (0 < x < \frac{\pi}{2}) \\ \\ 额外： \sin x \geq (\sin x)^2 = 1 - (\cos x)^2 \geq 1 - \cos x\\ \\ 即： \sin x \geq 1 - \cos x \]

5.x与ln(1+x)之间的关系

\[\frac{x}{1+x} < \ln{(1+x)} < x \qquad (x > 0) \\ 证： \quad \ln{(1+x)} = \ln{(1+x)} - \ln{1} \\ 由拉格朗日中值定理： \quad f(x) = \ln{x}。a = 1 , b = 1+x。 \\ 存在 a < c < b，使得 \quad \ln{(1+x)} = f^{'}(c) (1+x - 1) \\ 即： \quad = \frac{x}{c} \\ 因： 1 < c < 1+x，故 \quad \frac{x}{1+x} < \frac{x}{c} < \frac{x}{1} \quad 即证 \]

平方和(差)与立方和(差)

完全平方：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

平方和：1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

平方差：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

立方和：a^3 + b^3 = (a+b)(a^2+ab+b^2)

立方差：a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

和的立方：$$ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$

差的立方：$$ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $$

n次方之差：$$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b2 + 。。。 + ab^{n-2} + b^{n-1})$$

一个常用的变形：

\[\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)}\\ = \frac{1}{2}\times \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}\\ = \frac{1}{2}\times (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) \\ 推导：\\ \frac{1}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\times(\frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a}) \]

另一个常用变形：

\[\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \]

除此之外做题碰到的一个

\[\frac{1}{(1-x^2)\times(1+x)} = \frac{1}{(1-x)\times(1+x)^2} \\ \frac{1}{(1-x^2)\times(1+x)} = \frac{1}{2} \times\frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x^2)\times(1+x)} = \frac{1}{2} \times \lbrace \frac{1}{(1+x)^2} + \frac{1}{(1-x^2)} \rbrace \]

对数运算

对数可以让乘除变加减

【定义】如果\(N=a^x（a;0,a≠1）\)，即a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作：\(x=log_aN\)

\[N = a^x\\ 则 x = \log_a N \]

其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。

对数的一些基本性质:

\[1. \quad a^{\log_ab} = b \\ \\ 2. \quad \log_a{a^b} = b \\ \\ 3. \quad \log_a{MN} = \log_aM + \log_aN \\ \\ 4. \quad \log_a{(M/N)} = \log_aM - \log_aN \\ \\ 5. \quad \log_a{M^n} = n \log_aM \\ \\ 6. \quad \log_{a^n}M = \frac{1}{n\log_aM} \\ \\ 7. \quad \log_aN = \frac{\log_bN}{\log_ba} \quad (换底公式) \\\\ 8. \quad \log_ab = \frac{1}{\log_ba} \]

等差数列

等比数列

排列组合

排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。

组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

三角函数

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奇变偶不变，符号看象限。

任意角度均可表示为\(\frac{k \pi}{2} + a \quad (k为整数) , |a|< \frac{\pi}{4}\)

当k为偶数时，得到a的同名函数值，即函数名不变.

当k为奇数的时候，得到a的异名函数值，即\(\sin -- \cos，\cos -- \sin\)等。

符号看象限是指通过公式左边的角度所落的象限决定公式右边是正还是是负，记得视a为锐角。

各种三角函数在四个象限内的符号判断：一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)。

第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”；

第二象限内只有正弦和余割是“+”，其余全部是“－”；

第三象限内只有正切和余切是“+”，其余函数是“－”；

第四象限内只有正割和余弦是“+”，其余全部是“－”。

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\[\sin{a} - \cos{a} = {\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} \sin{a} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos{a}) = \sqrt{2} \sin{(a - \frac{\pi}{4})} \]

sec x是正割，$ \sec x = \frac{1}{\cos x} $

csc x是余割，\(\csc x = \frac{1}{\sin x}\)

cot x是余切，\(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)

\[(\tan x)^{'} = (\sec x)^2 \\ (\cot x)^{'} = -(\csc x)^2 \\ (\sec x)^2 - 1 = (\tan x)^2 \\ \]

反三角函数

y=arcsin(x)，定义域[-1，1]，值域[-π/2,π/2]

y=arccos(x)，定义域[-1，1]，值域[0，π]

y=arctan(x)，定义域(-∞，+∞)，值域(-π/2，π/2)

y=arccot(x)，定义域(-∞，+∞)，值域(0，π)

sin(arcsinx)=x，定义域[-1，1]，值域[-1，1]arcsin(-x)=-arcsinx

正余弦定理

正弦定理： R为三角形外接圆的半径

\[\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2R \]

余弦定理：

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA \]

经典函数图像

参考链接：https://wenku.baidu.com/view/d66747d176eeaeaad1f33099.html

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坐标系

空间直角坐标系

过空间定点O作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点,具有相同的单位长度.这三条数轴分别称为X轴(横轴).Y轴(纵轴).Z轴(竖轴),统称为坐标轴。

各轴之间的顺序要求符合右手法则,即以右手握住Z轴,让右手的四指从X轴的正向以90度的直角转向Y轴的正向,这时大拇指所指的方向就是Z轴的正向。这样的三个坐标轴构成的坐标系称为右手空间直角坐标系.与之相对应的是左手空间直角坐标系.一般在数学中更常用右手空间直角坐标系，在其他学科方面因应用方便而异。

三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面,称为坐标面.它们是:由X轴及Y轴所确定的XOY平面;由Y轴及Z轴所确定的YOZ平面；由X轴及Z轴所确定的XOZ平面．这三个相互垂直的坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限．位于X，Y，Z轴的正半轴的卦限称为第一卦限，从第一卦限开始，在XOY平面上方的卦限，按逆时针方向依次称为第二，三，四卦限；第一，二，三，四卦限下方的卦限依次称为第五，六，七，八卦限。

右手坐标系

要标注X、Y和Z轴的正轴方向，就将右手背对着屏幕放置，拇指即指向X轴的正方向。伸出食指和中指，如下图所示，食指指向Y轴的正方向，中指所指示的方向即是Z轴的正方向。要确定轴的正旋转方向，如下图所示，用右手的大拇指指向轴的正方向，弯曲手指。那么手指所指示的方向即是轴的正旋转方向。

极坐标系

极坐标系是一个二维坐标系，该坐标系统中任意位置可由一个夹角和一段相对原点——极点的距离来表示。

极坐标系是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个单位长度，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。

常见的极坐标方程

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常见圆锥曲线

圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。

椭圆：

1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²

2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²

参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)

椭圆面积公式：s=πab

双曲线：

1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².

2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².

参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)

抛物线：

参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0

直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)

直线方程

两条直线垂直，其斜率乘积为-1.

点斜式：\(y - y_0 = k(x - x_0)\)

斜截式：\(y = kx + b\) ，与y轴交点为(0,b)

两点式：\(\frac{y - y_1}{y - y_2} = \frac{x - x_1}{x - x_2}\) 。过两点。

截距式：\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) ，x截距为a，y截距为b。

一般式：\(Ax + By + C = 0\)

两点之间的距离公式：\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

点到直线的距离公式：\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)

两条平行直线的距离公式：\(d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)

圆的方程

圆的一般方程为\(x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F > 0)\)，或可以表示为\((X+D/2)²+(Y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4\)。

标准方程：\((x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\)。圆心为(a,b)，半径为R。

立体体积计算公式

球：\(V = \frac{4}{3}\pi R^3\).

圆锥：\(V =\frac{1}{3}\pi R^2h\).