高等代数 第三章 线性空间

知识复习

向量的线性关系

我们先从方程入手

把它写成向量的形式，分别用${\alpha }_i,\beta$表示上面的列向量，那么方程等价于$\sum x_i{\alpha }_i=\beta$

如果考虑齐次方程，那么$\sum x_i{\alpha }_i=0$，$0$肯定是一个解，但是我们想知道的是有没有非平凡的解，也就是说有没有一组不全为0的$x_i$能满足方程. 为此我们引入如下定义

于是，有非零解等价于向量组 ${\alpha }_i$线性相关

定理3.4.2 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$线性相关的充要条件是 其中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合
证明：利用定义即可

定理3.4.3 已知 $\beta$可以表示为${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$的线性组合，则表示唯一的充要条件是${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$线性无关
证明：反证法.
评注：这个定理就说明了方程组有唯一解的充要条件是${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$线性无关.

向量组的秩

给定一组向量，若线性相关，那么一定有一个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么去掉它，不断重复这个过程，直到剩下的向量是线性无关的为止

定义3.5.1 （极大线性无关组）
设在线性空间 $V$中有一族向量 $S$ (其中可能只有有限个向量， 也可能有无限多个向量),如果在$S$中存在一组向量$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r\}$适合如下条件：
（1）${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性无关
（2）这族向量中的任意一个向量都可以用${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$线性表示，
那么称$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r\}$是向量族$S$的极大线性无关组，简称极大无关组，

两个条件缺一不可，牢记. 有了极大线性无关组的定义，第一个问题便是存在性——每个向量组一定有极大线性无关组吗？由归纳法可以证明，一定存在！唯一性成立吗？唯一性并不成立. 但是 一个向量组的不同极大线性无关组的元素个数却是一样的. 也就是说，假定已知向量族$S$有两个极大无关组$A,B.$由极大无关组的定义，$A$和$B$都是线性无关的向量组且$A$中每个向量可以用$B$中向量线性表示，$B$中每个向量也可以用$A$中向量线性表示.我们希望证明：两个线性无关的向量组如果能够互相线性表示，则它们含有相同个数的向量.这只需证明一个更广泛的命题.

引理 3.5.1 设$A,B$是$V$中两组向量，$A$含有$r$个向量，$B$含有$s$个向量. 如果$A$中向量线性无关且$A$中每个向量均可用$B$中向量线性表示，则 $r\le s.$

定义3.5.2 （向量组的秩）向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为秩，记为 $r(S)$

定义3.5.3 如果两个向量组可以相互表示，那么称这两个向量组等价. 等价的向量组有相同的秩.

现在我们把整个线性空间视为一个向量组，那么这个向量组的极大线性无关组就是基

定义 3.5.4 设 V 是数域$\mathbb{K}$上的线性空间，若在$V$中存在线性无关的向量$e_1,e_2,\cdots ,e_n$,使得$V$中任一向量均可表示为这组向量的线性组合，则称$\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$是$V$的一组基，线性空间$V$称为$n$维线性空间(具有维数$n).$ 如果不存在有限个向量组成$V$ 的一组基，则称$V$ 是无限维线性空间.

定理 3.5.4 (基扩张定理) 设 $V$是$n$维线性空间$,v_1,v_2,\cdots ,v_m$是 $V$中$m(m<n)$个线性无关的向量，又假定$\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$是$V$的一组基，则必可在$\{{\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2,\cdots ,{\mathit{e}}_n\}$ 中选出$n-m$个向量，使之和$v_1,v_2,\cdots ,v_m$一起组成$V$的一组基.

矩阵的秩

前面我们考虑向量组的秩，现在把向量写成分量的形式，然后再拼起来，就得到一个矩阵，很自然地引出矩阵的秩的定义

定义 3.6.1 设$A$是$m\times n$矩阵，则$A$的$m$个行向量的秩称为$A$的行秩；$\mathit{A}$的$n$个列向量的秩称为$A$的列秩.

定理 3.6.1 矩阵的行秩和列秩在初等变换下不变

推论 任意矩阵的行秩等于列秩
证明: 由于任意矩阵可以变换为

$$B=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$$

那么很容易看出来行秩列秩都是 $r$.

推论 任意非异阵与矩阵$A$相乘,秩不变
因为非异阵可以写成有限个初等矩阵的乘积.

推论 方阵$A$为非异阵的充要条件是$A$满秩.

坐标向量

下面我们讨论坐标向量,将一般的线性空间和我们更熟悉的$n$维向量空间对应.

引理3.7.1 设$e_1,\dots ,e_n$为向量空间 $V$的一组基,$\alpha \in V,\alpha =\sum a_i{e}_i=\sum b_i{e}_i$, 那么$a_i=b_i$.

这就表明,如果我们取定了一组基,那么每一个向量的表示方法就唯一确定了,也就是说系数固定了,我们定义如下映射$$\varphi :V\to K^n$$ $$\alpha =\sum a_i{e}_i\mapsto (a_1,\dots ,a_n)$$
$(a_1,\dots ,a_n)$称为是$\alpha$在基$e_1,\dots ,e_n$下的坐标. 容易验证这是一个线性同构,一些有用的小结果: $\varphi (0)=0$, $\varphi$将线性无关组映为线性无关组.

我们知道极大线性无关组是不唯一的,换句话说,一个线性空间的基是不唯一的,刚刚我们的讨论是取定一组基,然后看坐标,现在的问题是,我们改变基,同一个向量在不同基下的坐标之间有什么关系?

子空间

现在我们开始一个新的话题,子空间,略去简单的定义,只介绍重要的部分.
首先是两类重要的例子,两个子空间的和与交

定义 3.9.2 若$V_1,V_2$是$V$的子空间，定义它们的交为既在$V_1$又在$V_2$中的
全体向量所成的集合$V_1\cap V_2$.定义它们的和为

$$V_1+V_2=\{\mathit{\alpha }+\mathit{\beta }|\mathit{\alpha }\in V_1,\mathit{\beta }\in V_2\},$$

即所有形如$\alpha +\beta$的向量的集合，其中要求$\alpha \in V_1,\mathit{\beta }\in V_2.$

如果给了一个向量组,也可以得到一个子空间,定义如下

定义 3.9.3 设$S$是线性空间$V$的子集，记$L(S)$为$S$中向量所有可能的线性组合构成的子集，则由定义 3.9.1 不难看出$,L(S)$ 是$V$ 的一个子空间，称之为由集合$S$生成的子空间，或称之为由$S$张成的子空间.

定理 3.9.1 设$S$是线性空间$V$的子集$,L(S)$为由$S$张成的子空间，则
$(1)S\subseteq L(S)$且若$V_0$是包含集合$S$的子空间，则$L(S)\subseteq V_0$,也即$L(S)$是
包含 $S$ 的$V$ 的最小子空间；
(2) $L(S)$的维数等于$S$中极大无关组所含向量的个数，且若${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$
是$S$的极大无关组，则$L(S)=L({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_m).$

定理 3.9.2 (维数公式) $dim(V_1+V_2)=dim(V_1)+dim(V_2)-dim(V_1\cap V_2)$

线性方程组的解

最后一节,我们回到线性方程组的求解问题,给出一般的线性方程组解的判断定理

定理 3.10.1 设有$n$个未知数$m$个方程式组成的线性方程组：

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m,\end{array}$$

它的系数矩阵记为 $A$,增广矩阵记为 $\tilde{A}$,即

$$\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}\right),$$

则有下列结论：
(1)若$\tilde{A}$与$A$的秩都等于$n$,则该方程组有唯一一组解；
(2)若$\tilde{A}$与$A$的秩相等但小于$n$,即 r$(\tilde{\mathit{A}})=$r$(\mathit{A})<n$,则该方程组有无穷多组解；
(3)若$\tilde{A}$与$A$的秩不相等，则该方程组无解.