[GAMES101]图形学入门笔记

线性代数基础知识

此处只补充部份线代内容，包括点乘、叉乘和正交。

向量点乘 Vector Dot Product

介绍点乘的基本概念，公式，以及应用。

两个向量点乘是一个标量，又是我们也会称其为两个向量的余弦相似度

公式：$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=||\overrightarrow{a}||||\overrightarrow{b}||\cos \theta$​​

同时也可以获得两个向量的余弦角：$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{a}||||\overrightarrow{b}||}}$​

如果是单位向量的话，模长为1，于是有：$\cos \theta =\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$

笛卡尔坐标系下的点乘为逐点相乘后相加：

In 2d Cartesian Coordinates:

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\end{array}\right)=x_a{x}_b+y_a{y}_b$$

In 3d Cartesian Coordinates:

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\\ z_a\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)=x_a{x}_b+y_a{y}_b+z_a{z}_b$$

用点乘获得向量投影：

• ${\overrightarrow{b}}_{\mathrm{\perp }}$表示向量$\overrightarrow{b}$在向量向量$\overrightarrow{a}$上的投影
• ${\overrightarrow{b}}_{\mathrm{\perp }}$方向一定和$\overrightarrow{a}$的单位向量$\hat{a}$同向或反向：${\overrightarrow{b}}_{\mathrm{\perp }}=k\hat{a}$
• $k$具体值如下：

$$k=||{\overrightarrow{b}}_{\mathrm{\perp }}||=||\overrightarrow{b}||\cos \theta$$

点乘在图形学里的一些应用：

1. 测量两个向量的方向差

   用点乘公式获得余弦角。

2. 分解向量：

   利用投影将向量$\overrightarrow{b}$分解到向量$\overrightarrow{a}$的方向上，获得${\overrightarrow{b}}_{\mathrm{\perp }}$，然后让$\overrightarrow{b}$减去该投影向量${\overrightarrow{b}}_{\mathrm{\perp }}$获得剩余向量$\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}_{\mathrm{\perp }}$，获得了$\overrightarrow{b}$的两组正交向量${\overrightarrow{b}}_{\mathrm{\perp }}$和$\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}_{\mathrm{\perp }}$。

3. 判断两个向量是否是前向/反向：

   点乘的结果是正数，根据公式可知余弦角小于90度，表示两个向量都是前向的；相反如果结果是负数，说明余弦角大于90度，两个向量是反向的。

向量叉乘 Vector Cross Product

两个向量叉乘是一个向量，该向量正交于叉乘的两个向量，方向遵循右手定则，因此叉乘的顺序会改变方向。

叉乘向量的模长公式：$||\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}||=||\overrightarrow{a}||||\overrightarrow{b}||\sin \varphi$

因此显然有：$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$

向量叉乘常常用于构建右手坐标系。

笛卡尔坐标系下的叉乘公式：

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{y}_a{z}_b-y_b{z}_a\\ z_a{x}_b-x_a{z}_b\\ x_a{y}_b-y_a{x}_b\end{array}\right)=A^{\ast }\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{ccc}0& -z_a& y_a\\ z_a& 0& -x_a\\ -y_a& x_a& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)$$

叉乘在图形学里的一些应用：

1. 判断向量$\overrightarrow{b}$在向量$\overrightarrow{a}$的左侧还是右侧：

   利用叉乘向量方向遵循右手定则来实现

2. 判断一个点$P$是否在三角形$\mathrm{△}ABC$​的内部：

   按照顺时针或逆时针的顺序，分别叉乘：$\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BP}\times \overrightarrow{BC},\overrightarrow{CP}\times \overrightarrow{CA}$。如果这几个结果的正负号一致，即点永远在向量的一侧，则该点一定在三角形内部。（可以推广到凸多边形。

正交坐标系 Orthonormal Coordinate Frames

坐标系很重要，有了坐标系就可以表示一些空间中的点和向量了。

往往会存在许多坐标系：Global / Local / Model / parts of model (head, hands, ...)。

需要掌握在不同坐标系下进行相互变换transform。

3D空间中任意三个单位正交向量，满足：

$$\begin{array}{c}||\overrightarrow{u}||+||\overrightarrow{v}||+||\overrightarrow{w}||=1\\ \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}=\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u}=0\\ \overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\text{right-handed}\end{array}$$

都可以作为一组正交坐标系。

任意向量$\overrightarrow{p}$都可以被一组正交坐标系唯一表示：

$$\begin{array}{c}\overrightarrow{p}=\underbrace{(\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{u})}\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{v})\overrightarrow{v}+(\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{w})\overrightarrow{w}\end{array}$$

其中$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{u}$表示向量$\overrightarrow{p}$在单位向量$\overrightarrow{u}$上的投影。

坐标变换

2D坐标变换

我们可以用一个2x2的矩阵对一个2D向量进行变换：

$$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}x+a_{12}y\\ a_{21}x+a_{22}y\end{array}\right)$$

上述这种，输入一个2D向量，通过一个简单的矩阵乘法后，输出另一个2D向量的做法称为线性变换。一般来说，我们会考虑沿着x轴或y轴完成一些操作。

Scaling 拉伸

常用的一种变换就是沿着一个坐标系进行拉伸scaling：

$$\mathrm{scale}(s_x,s_y)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{s}_{x}x\\ s_{y}y\end{array}\right)$$

Shearing 切变

切变变换类似于你把一副卡牌推开的样子，最下面保持不动，越靠近顶部移动的越多。

$$\mathrm{shear-x}(s)=\left(\begin{array}{cc}1& s\\ 0& 1\end{array}\right),\mathrm{shear-y}(s)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ s& 1\end{array}\right)$$

Rotation 旋转

定义绕着原点逆时针旋转$\varphi$的变换如下：

$$\mathrm{rotate}(\varphi )\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\cos \varphi -y\sin \varphi \\ x\sin \varphi +y\cos \varphi \end{array}\right)$$

简单推导：假设原始向量$(x_a,y_a)$和x轴正方向的夹角为$\alpha$，令向量的模长为$r=\sqrt{x_a^2+y_a^2}$，于是有：

$$\{\begin{array}{l}{x}_a=r\cos \alpha \\ y_a=r\sin \alpha \end{array}$$

则对于逆时针旋转$\varphi$后的向量$(x_b,y_b)$，有：

$$\{\begin{array}{l}{x}_b=r\cos (\alpha +\varphi )=r\cos \alpha \cos \varphi -r\sin \alpha \sin \varphi =x_a\cos \varphi -y_a\sin \varphi \\ y_b=r\sin (\alpha +\varphi )=r\sin \alpha \cos \varphi +r\cos \alpha \sin \varphi =x_a\sin \varphi +y_a\cos \varphi \end{array}$$

得证。

Relection 反射

沿着x轴或y轴镜像反射：

$$\mathrm{reflect-y}(s)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\mathrm{reflect-x}(s)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

齐次坐标系

齐次坐标系是用来解决translation不能写进矩阵变换的问题的，如放射变换：

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right)$$

我们不想让translation操作变成一种特例，想要和前面的linear transform保持一致，于是有了齐次坐标系的概念：

$$\{\begin{array}{ll}\text{2D point}& =(x,y,1)\\ \text{2D vector}& =(x,y,0)\end{array}$$

这里可以简单理解为，点移动是会改变坐标的，但是向量移动后，还是会以原点为起点保持不变。

这也与如下规定保持了一致：

$$\begin{array}{cccccc}& \mathrm{向}\mathrm{量}& +& \mathrm{向}\mathrm{量}& =& \mathrm{向}\mathrm{量}\\ & \mathrm{点}& -& \mathrm{点}& =& \mathrm{向}\mathrm{量}\\ & \mathrm{点}& +& \mathrm{向}\mathrm{量}& =& \mathrm{点}\\ & \mathrm{点}& +& \mathrm{点}& =& \mathrm{点}\end{array}$$

在齐次坐标系中，$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x/w\\ y/w\\ 1\end{array}\right)$ 表示的是同一个点。$(w\ne 0)$

于是translation matrix就有了：

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+t_x\\ y+t_y\\ 1\end{array}\right)$$

Affine Tansformation 放射变换

Affine transformation = linear map + translation

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right)$$

用了齐次坐标系以后，我们就可以写成：

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ w^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a& b& t_x\\ c& d& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$$

同理有scaling，rotation等，不一一写了。

分解一些复杂的变换

可以简单拆分成三步：

1. 把要旋转的点translate到坐标原点
2. rotate
3. translate回去

3D坐标变换

同样使用齐次坐标系：

$$\{\begin{array}{ll}\text{3D point}& =(x,y,z,1)\\ \text{3D vector}& =(x,y,z,0)\end{array}$$

Affine Transformation:

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}a& b& c& t_x\\ d& e& f& t_y\\ g& h& i& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)$$