JZOJ 6756. 2020.07.21【NOI2020】模拟T2 （搜索有用状态+背包dp）

题目大意：

\(n\)种花色，每个花色\(m\)种数字，每个花色数字牌不超过\(4\)张的雀魂。

随机选\(3k+2\)个牌，问能拆成\(k\)个面子和\(1\)个对子的概率。

\(n,m \le 10^9, k \le 30\)

题解：

先考虑一种花色的牌选出\(0..3k+2\)的方案数，后面做一个背包就可以组合。

再考虑一种花色拆成若干段\(>0\)的连续段会比较好做，求出每个连续段（每个数字牌数都\(>0\)）的方案数，再用一个\(O(k^5)\)的dp也能组合。

问题是求\(f[i][j]\)表示长度\(=i\)的连续段，用了\(j\)张牌且合法的方案数。

考虑怎么判断一个段是否合法，可以dp，\([i=0 \sim 4][j = 0 \sim 4][k = 0 \sim 1]\)表示最后两个的剩余大小和有没有选对子。

计数不难想到dp套dp，但是\(2^{5*5*2}\)有点大，可是经过搜索发现有用状态只有\(248\)个。

于是就做完了，挺好写的。

比赛时忘记搜索缩状态了，GG

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i <= _b; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i <  _b; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i >= _b; i --)
#define ll long long
#define pp printf
#define hh pp("\n")
using namespace std;

ll m, n, k;

const int N = 100;

const int mo = 1e9 + 7;

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll s = 1;
	for(; y; y /= 2, x = x * x % mo)
		if(y & 1) s = s * x % mo;
	return s;
}

ll cnt[N][N];

ll c[5][5];

void add(ll &x, ll y) {
	(x += y) %= mo;
}

namespace sub1 {
	ll a2[51];
	int id[5][5][2], id0;
	map<ll, int> bz; int bz0;
	
	int bx[51];
	
	const int M = 300;
	
	int to[M][5];
	
	int ok1[M], ok2[M];
	
	int dg(ll s) {
		if(bz[s]) return bz[s];
		bz[s] = ++ bz0;
		ok1[bz0] = s >> id[0][0][0] & 1;
		ok2[bz0] = s >> id[0][0][1] & 1;
		fo(x, 1, 4) {
			fo(i, 0, 49) bx[i] = 0;
			fo(i, 0, 4) fo(j, 0, 4) fo(k, 0, 1) if(s >> id[i][j][k] & 1) {
				 fo(nk, 0, !k) fo(c, 0, 1) {
					int a[4];
					a[1] = i, a[2] = j, a[3] = x;
					while(a[1] && a[2] && a[3]) a[1] --, a[2] --, a[3] --;
					if(a[1]) continue;
					a[3] -= nk * 2 + c * 3;
					if(a[3] < 0) continue;
					bx[id[a[2]][a[3]][k | nk]] = 1;
				}
			}
			ll ns = 0;
			fo(i, 0, 49) if(bx[i]) ns |= a2[i];
			to[bz[s]][x] = dg(ns);
		}
		return bz[s];
	}
	
	ll f[N][N][M];
	
	
	void work() {
		fo(i, 0, 4) {
			c[i][0] = 1;
			fo(j, 1, i) c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % mo;
		}
		a2[0] = 1; fo(i, 1, 50) a2[i] = a2[i - 1] * 2;
		fo(i, 0, 4) fo(j, 0, 4) fo(k, 0, 1)
			id[i][j][k] = ++ id0;
		dg(a2[id[0][0][0]]);
		f[0][0][1] = 1;
		fo(i, 0, 3 * k + 2) {
			fo(j, 0, 3 * k + 2) {
				fo(u, 1, bz0) if(f[i][j][u]) {
					if(ok1[u]) add(cnt[i][j], f[i][j][u]);
					if(ok2[u]) add(cnt[i][j], f[i][j][u]);
					fo(x, 1, 4) if(j + x <= 3 * k + 2) {
						add(f[i + 1][j + x][to[u][x]], f[i][j][u] * c[4][x]);
					}
				}
			}
		}
	}
}

ll g[N];

ll inv[N];

ll C(int n, int m) {
	if(n < m) return 0;
	ll s = 1;
	fo(i, n - m + 1, n)	s = s * i % mo;
	fo(i, 1, m) s = s * inv[i] % mo;
	return s;
}

namespace sub2 {
	ll f[N][N][N];
	void work() {
		fo(i, 1, 3 * k + 2) inv[i] = ksm(i, mo - 2);
		f[0][0][0] = 1;
		fo(i, 0, 3 * k + 2) {
			fo(j, 0, 3 * k + 2) {
				fo(u, 0, 3 * k + 2) if(f[i][j][u]) {
					add(g[u], f[i][j][u] * C(m - j + 1, i));
					fo(p, 1, 3 * k + 2) fo(q, 1, 3 * k + 2) if(cnt[p][q] && j + p <= 3 * k + 2 && u + q <= 3 * k + 2) {
						if(u % 3 == 2 && q % 3 == 2) continue;
						add(f[i + 1][j + p][u + q], f[i][j][u] * cnt[p][q]);
					}
				}
			}
		}
	}
}

namespace sub3 {
	ll f[N][N];
	void work() {
		f[0][0] = 1;
		ll ans = 0;
		fo(i, 0, 3 * k + 2) {
			fo(j, 0, 3 * k + 2) if(f[i][j]) {
				fo(u, 1, 3 * k + 2) if(j + u <= 3 * k + 2 && g[u]) {
					if(j % 3 == 2 && u % 3 == 2) continue;
					add(f[i + 1][j + u], f[i][j] * g[u]);
				}
			}
			ans = (ans + C(n, i) * f[i][3 * k + 2]) % mo;
		}
		pp("%lld\n", ans);
	}
}

int main() {
	freopen("majsoul.in", "r", stdin);
	freopen("majsoul.out", "w", stdout);
	scanf("%lld %lld %lld", &m, &n, &k);
	sub1 :: work();
	sub2 :: work();
	sub3 :: work();
}