扩展Lucas定理及其优化

• 求：\(\binom{n}{m} ~mod~p^k\)

• \(n,m\le 10^{18}\)，\(p^k\le 10^7\)。

我们可以求出这样一个形式，即\(n!=p^{x}*y(gcd(y,p)=1)\)，然后：
\(\binom{n}{m}={n! \over m!*(n-m)!}\)

这样\(p\)的幂次用上面-下面算，然后\(y\)是有逆元的，逆元的话可以用欧拉定理，如果写的是excrt，也可以直接用，这样就做完了。

现在算\(n!\)：

\(n!=(\prod_{i=1且i~mod~p>0}^{p^k}i)^{n/{p^k}}*(\prod_{i=1且i~mod~p>0}^{n~mod~p^k}i)*(n/p)!*p^{n/p}\)

\((n/p)!\)可能产生新的\(p\)的倍数，这个可以递归解决。

要预处理\(p^k\)的与\(p\)互质数的前缀积，每一层还有个快速幂，复杂度：\(O(log_p^n *log_2^n+p^k)\)

洛谷模板题：
https://www.luogu.org/problemnew/show/P4720

---

优化：
高斯泛化的威尔逊定理

也就是\(p^k\)时的威尔逊定理。

也就是说：
\(\prod_{i=1且i~mod~p>0}^{p^k}~~i\)只能是\(1\)或者\(-1\)，那么可以省去快速幂的复杂度。

复杂度就变成了\(O(log_p^n+p^k)\)