「LibreOJ β Round #3」绯色 IOI（危机）（单调栈+动态规划+复杂度分析）

https://loj.ac/problem/522

第一个性质是在告诉我们这是个DAG。

所以暴力的做法就是设\(f[i]\)表示\(i\)结尾的最大答案，去枚举能够到达\(i\)的\(j\)，转移即可，转移顺序可以按半径从大到小。

注意到那个转移式显然是不可优化的，也就是我们只能暴力枚举\(j\)，事实上对于每个\(i\)可能的\(j\)只有\(O(log)\)个。

证明：

首先对于\(\forall d(x,y),d(x,y)<=2log~r\)
结合“\(d(x,y)=3，则x能直接引爆y的性质\)”，发现每两次连续引爆半径会缩小一半。

再考虑对于一个点\(i\)，对于一个确切的\(x\)，它左边的\(d(j,i)=x\)的\(j\)是唯一的，这个可以假设有两个，发现那两个一定冲突。

所以能引爆\(i\)的\(j\)不超过\(4log~r\)个，那么接下来只要快速找出这些\(j\)就好了。

一种方法是用扫描线+set暴力维护，时间复杂度\(O(n*log~n*log~r)\)，可能会TLE。

题解法：对每个点\(i\)，找到左边右边的\(d(j,i)=2\)的两个\(j\)，这个可以通过做两遍单调栈+二分得到。

然后每次dfs去找到所以能引爆\(i\)的\(j\)，时间复杂度：\(O(n~log~r)\)

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i <= _b; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i <  _b; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i >= _b; i --)
#define ll long long
#define pp printf
#define hh pp("\n")
using namespace std;

const int mo = 998244353;

const int N = 3e5 + 5;

int n;
ll a[N], b[N], c[N];
int d[N];

int cmp(int x, int y) {
	return a[x] < a[y];
}

ll w[N];
int z[N], z0;
int fa[N][2];

int cmp2(int x, int y) {
	return b[x] > b[y];
}

int t, bz[N];
ll f[N];

void dg(int x) {
	if(!x || bz[x] == t) return;
	bz[x] = t;
	if(x != t) f[t] = max(f[t], f[x] + ((c[t] ^ c[x]) + c[t] * c[x]) % mo);
	dg(fa[x][0]); dg(fa[x][1]);
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	fo(i, 1, n) scanf("%lld", &a[i]);
	fo(i, 1, n) scanf("%lld", &b[i]);
	fo(i, 1, n) scanf("%lld", &c[i]);
	fo(i, 1, n) d[i] = i;
	sort(d + 1, d + n + 1, cmp);
	fo(i, 1, n) w[i] = a[i] + b[i];
	fo(i, 1, n) {
		int x = d[i];
		int as = 0;
		for(int l = 1, r = z0; l <= r; ) {
			int m = l + r >> 1;
			if(w[z[m]] >= a[x]) as = m, l = m + 1; else r = m - 1;
		}
		fa[x][0] = z[as];
		while(z0 > 0 && w[z[z0]] <= w[x]) z0 --;
		z[++ z0] = x;
	}
	fo(i, 1, n) w[i] = a[i] - b[i];
	z0 = 0;
	fd(i, n, 1) {
		int x = d[i];
		int as = 0;
		for(int l = 1, r = z0; l <= r; ) {
			int m = l + r >> 1;
			if(w[z[m]] <= a[x]) as = m, l = m + 1; else r = m - 1;
		}
		fa[x][1] = z[as];
		while(z0 > 0 && w[z[z0]] >= w[x]) z0 --;
		z[++ z0] = x;
	}
	sort(d + 1, d + n + 1, cmp2);
	fo(i, 1, n) {
		t = d[i], dg(t);
	}
	fo(i, 1, n) pp("%lld\n", f[i]);
}