「AHOI / HNOI2018」毒瘤（容斥+虚树优化dp或ddp）

https://loj.ac/problem/2496

这题给我感觉才是day1 最简单的题，一点都不毒瘤。

先考虑保留一个生成树，对于非树边，我们可以容斥，选其中\(i\)条边，使得这\(i\)条边一定不合法，也就是这\(i\)条边对应的点一定选，容斥系数是\((-1)^i\)

暴力就容斥完之后再做个树形dp，时间复杂度\(O(2^{(m-n+1)}*n)\)，可以10min获得85的高分。

因为每次相当于开启一个点或者关闭一个点，一种方法是直接套上ddp，时间复杂度：\(O((n+2^{(n-m+1)}*(n-m+1))*log~n)\)，比较难写（考场上肯定就不要了）

另一种方法是建出非树边的虚树，然后只在虚树上dp。

因为虚树上两个点之间会有其他的子树，所以要预处理系数贡献。

对于每个不是虚树上的点\(x\)，设\(to[x]\)为它子树到它最近的一个虚树上的点（该点为1），那么\(x\)的dp值一定是由\(to[x]\)的dp值乘上系数得来，直接struct封装后去维护这个系数。

对虚树上点，只保留子树内有虚树上点的儿子，其它的都是常数贡献，

利用这些求出的系数每次再dp就好了。

时间复杂度：\(O(n+2^k*k)\)

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i <= _b; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i <  _b; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i >= _b; i --)
#define ll long long
#define pp printf
#define hh pp("\n")
using namespace std;

const int mo = 998244353;

const int N = 1e5 + 5;

int f[N];
int n, m, x, y;
int b[N][2], b0;
#define V vector<int>
#define pb push_back
#define si size()
V e[N];

int F(int x) { return f[x] == x ? x : (f[x] = F(f[x]));} 

int p[N], q[N], p0;
int fa[N], siz[N], son[N], dep[N], top[N];

void dg(int x) {
	p[x] = ++ p0;
	dep[x] = dep[fa[x]] + 1;
	siz[x] = 1;
	ff(_y, 0, e[x].si) {
		int y = e[x][_y]; if(y == fa[x]) continue;
		fa[y] = x;
		dg(y);
		siz[x] += siz[y];
		if(siz[y] > siz[son[x]]) son[x] = y;
	}
	q[x] = p0;
}
void dfs(int x) {
	if(son[x]) top[son[x]] = top[x], dfs(son[x]);
	ff(_y, 0, e[x].si) {
		int y = e[x][_y]; if(y == son[x] || y == fa[x]) continue;
		top[y] = y; dfs(y);
	}
}
int lca(int x, int y) {
	while(top[x] != top[y]) if(dep[top[x]] >= dep[top[y]])
		x = fa[top[x]]; else y = fa[top[y]];
	return dep[x] < dep[y] ? x : y;
}
int z[N], z0, bz[N];
int cmp(int x, int y) { return p[x] < p[y];}

struct P {
	ll x[3];
	P(ll x0 = 0, ll x1 = 0, ll x2 = 0) {
		x[0] = x0, x[1] = x1, x[2] = x2;
	}
};
P operator * (P a, P b) {
	P c = P();
	c.x[0] = a.x[0] * b.x[0] % mo;
	c.x[1] = (a.x[0] * b.x[1] + a.x[1] * b.x[0]) % mo;
	c.x[2] = (a.x[0] * b.x[2] + a.x[2] * b.x[0]) % mo;
	return c;
}
P operator + (P a, P b) {
	fo(i, 0, 2) a.x[i] = (a.x[i] + b.x[i]) % mo;
	return a;
}
P g[N][2]; ll h[N][2]; int to[N];
V e2[N];
void du(int x) {
	g[x][0] = g[x][1] = P(1, 0, 0);
	if(!bz[x]) {
		ff(_y, 0, e[x].si) {
			int y = e[x][_y]; if(y == fa[x]) continue;
			du(y);
			g[x][0] = g[x][0] * (g[y][0] + g[y][1]);
			g[x][1] = g[x][1] * g[y][0];
			if(to[y]) to[x] = to[y];
		}
	} else {
		ff(_y, 0, e[x].si) {
			int y = e[x][_y]; if(y == fa[x]) continue;
			du(y);
			if(!to[y]) {
				g[x][0] = g[x][0] * (g[y][0] + g[y][1]);
				g[x][1] = g[x][1] * g[y][0];
			} else {
				e2[x].pb(y);
			}
		}
		to[x] = x;
		h[x][0] = g[x][0].x[0]; h[x][1] = g[x][1].x[0];
		g[x][0] = P(0, 1, 0);
		g[x][1] = P(0, 0, 1);
	}
}

void build() {
	dg(1);
	top[1] = 1; dfs(1);
	fo(i, 1, b0) {
		z[++ z0] = b[i][0];
		z[++ z0] = b[i][1];
	}
	sort(z + 1, z + z0 + 1, cmp);
	z[++ z0] = 1;
	fo(i, 2, z0) z[++ z0] = lca(z[i], z[i - 1]);
	sort(z + 1, z + z0 + 1, cmp);
	z0 = unique(z + 1, z + z0 + 1) - (z + 1);
	fo(i, 1, z0) bz[z[i]] = 1;
	du(1);
}

ll dp[N][2];

ll ans;

int cho[N];

void zy(int x) {
	dp[x][0] = h[x][0], dp[x][1] = h[x][1];
	ff(_y, 0, e2[x].si) {
		int y = e2[x][_y];
		ll v0 = dp[to[y]][0], v1 = dp[to[y]][1];
		ll w0 = (g[y][0].x[0] + g[y][0].x[1] * v0 + g[y][0].x[2] * v1) % mo;
		ll w1 = (g[y][1].x[0] + g[y][1].x[1] * v0 + g[y][1].x[2] * v1) % mo;
		dp[x][0] = dp[x][0] * (w0 + w1) % mo;
		dp[x][1] = dp[x][1] * w0 % mo;
	}
	if(cho[x]) dp[x][0] = 0;
}

void work(int xs) {
	fd(i, z0, 1) {
		int x = z[i];
		zy(x);
	}
	ans = (ans + (dp[1][0] + dp[1][1]) * xs) % mo;
}

void dg(int x, int xs) {
	if(x > b0) {
		work(xs);
		return;
	}
	cho[b[x][0]] ++; cho[b[x][1]] ++;
	dg(x + 1, -xs);
	cho[b[x][0]] --; cho[b[x][1]] --;
	dg(x + 1, xs);
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	fo(i, 1, n) f[i] = i;
	fo(i, 1, m) {
		scanf("%d %d", &x, &y);
		if(F(x) == F(y)) {
			b[++ b0][0] = x, b[b0][1] = y;
		} else {	
			f[f[x]] = f[y];
			e[x].pb(y); e[y].pb(x);
		}
	}
	build();
	dg(1, 1);
	ans = (ans % mo + mo) % mo;
	pp("%lld\n", ans);
}