「THUSCH 2017」杜老师（找性质+线性基）

https://loj.ac/problem/2978

先考虑最暴力的做法，一个数x，含有的质因子p的指数如果是奇数，那么在这一位视作1，答案相当于与选若干数，异或起来是0。
如果暴力建线性基，求出自由元的个数\(s\)，答案就是\(2^s\)。
这个大概能跑过\(r<=1000\)

考虑进一步的优化，对于那些\(>\sqrt n\)的质因子，如果它出现，那么指数一定是1，并且一个数不会有两个及以上的这样的质因子。
那么线性基只维护\(<=\sqrt n\)的质因子，对于\(>\sqrt n\)的质因子，在外面就讨论好。
假如先遇到一个含有\(p1>\sqrt n\)的，就让它停在线性基这一位上，不加入维护的那个线性基，后面再遇到含有p1的，就异或上之前它再加入线性基。
这样，线性基中的长度只有不到450个，这个能多跑2个点。

事实上，因为线性基的长度不大了，所以很容易加满，加满了就不加了，然后你发现你就能过了。
设一个阈值M，当\(r-l>M\)时，线性基一定会被填满。
\(M\)至少是\(\sqrt n\)，应该再大一点以使线性基中不会冲突，取\(M=2\sqrt n\)就行了。
当\(r-l>M\)时，自由元个数\(s=r-l+1-[l,r]含有的不同质因子的个数\)。
含有不同质因子的个数：枚举每个质数，看它有没有出现在这个区间内。

Code：

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#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i <= _b; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i <  _b; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x, _b = y; i >= _b; i --)
#define ll long long
#define pp printf
#define hh pp("\n")
using namespace std;

const int mo = 998244353;

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll s = 1;
	for(; y; y /= 2, x = x * x % mo)
		if(y & 1) s = s * x % mo;
	return s;
}

const int N = 1e7 + 5;
const int M = 450;

int n, sq, m;
int bz[N], p[N], p0, bp[N], mp[N], sp[N];

int T, l, r;

int us[N]; 
bitset<M> d[100005]; int d0;

bitset<M> a[M], b; int qa[N];

int ins() {
	fd(i, m, 1) if(b[i]) {
		if(qa[i]) {
			b ^= a[i];
		} else {
			qa[i] = 1;
			a[i] = b;
			return 0;
		}
	}
	return 1;
}

int add(int x) {
	int t = mp[x];
	if(t > sq) x /= t;
	b.reset();
	while(x > 1) {
		int y = mp[x], c = 0;
		while(x % y == 0) x /= y, c ^= 1;
		b[bp[y]] = c;
	}
	if(t > sq) {
		if(us[t]) {
			b ^= d[us[t]];
		} else {
			d[++ d0] = b;
			us[t] = d0;
			return 0;
		}
	}
	return ins();
}

void work(int l, int r) {
	fo(i, 1, m) a[i].reset(), qa[i] = 0;
	int s = 0;
	fo(i, l, r) s += add(i);
	fo(i, l, r) us[mp[i]] = 0; d0 = 0;
	pp("%lld\n", ksm(2, s));
}

int main() {
	n = 1e7; sq = sqrt(n);
	mp[1] = 1;
	fo(i, 2, n) {
		sp[i] = sp[i - 1] + !bz[i];
		if(!bz[i]) {
			mp[i] = i;
			p[++ p0] = i;
			bp[i] = p0;
		}
		for(int j = 1; i * p[j] <= n; j ++) {
			int k = i * p[j]; bz[k] = 1;
			mp[k] = mp[i];
			if(i % p[j] == 0) break;
		}
	}
	fo(i, 2, sq) if(!bz[i]) m = bp[i];
	for(scanf("%d", &T); T; T --) {
		scanf("%d %d", &l, &r);
		if(r - l <= 7000) {
			work(l, r);
		} else {
			int s = r - l + 1;
			fo(i, 1, p0) {
				if(p[i] > r) break;
				if(r / p[i] != (l - 1) / p[i]) s --;
			}
			pp("%lld\n", ksm(2, s));
		}
	}
}