由《NOI2008志愿者招募》来看网络流（费用流）优化线性规划的一类问题

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在用网络流解线性规划前，我们需要明白网络流本质上是一个什么样的线性规划？

网络流的每条边的流量相当于一个未知数\(x\)，\(0<=x<=这条边的流量上限\)。

网络流中除了超级源和超级汇的点都满足流量守恒，也就是\(\sum x_{流入}=\sum x_{流出}\)，就是线性规划中的等式。

通常情况下，我们要使\(x\)的带权和最小，所以每条边还有个费用。

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noi2008志愿者招募：

申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要Ai 个人。布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。

1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000

考虑设第\(i\)类志愿者用了\(x[i]\)个。

对第\(j\)天，有需求：
\(\sum x[i]*[s[i]<=j<=t[i]]>=A[i]\)

不等式不是很能网络流，我们添加变量\(a[i]>=0\)把不等式变成等式：
\(\sum x[i]*[s[i]<=j<=t[i]]-a[i]=A[i]\)

这样一共得到了\(n\)条等式，设第\(j\)条方程为\(B[j]\)。

把\(B\)差分后，我们会发现，每一个\(x[i]\)只会出现在两条方程中，即第\(s[i]\)条和\(t[i]+1\)条，第\(s[i]\)条中的系数是\(+1\)，第\(t[i]+1\)条中的系数是\(-1\)。

把每条方程看做一个点，对每个\(x[i]\)，让系数为+1的地方向系数为-1的地方连边，容量上限是无限，因为这题\(x[i]\)可以无限大，费用即是\(c[i]\)。

对添加的变量同样如此。

对每条方程\(j\)，等式右边还有一个系数，设它为\(y\)，此系数的意义是流出-流入，所以当\(y>0\)，\(S->j, r = y\)。

\(y<0,j->T,r-y\)。

最后跑最大流最小费用即可，即用费用流去解线性规划。

【BZOJ4842】[Neerc2016]Delight for a Cat：

这题和上题几乎没有差别，就是\(x[i]\)有了上限而已。

JZOJ6476【GDOI2020模拟02.19】A ：

这题是树上版本的，同理对方程做树上差分（每个点的方程减去儿子的），可以让\(x[i]\)只出现在两个方程中。

这样做最后得到图和上下界费用流转换后的图一毛一样。

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https://www.cnblogs.com/Houjikan/p/4379345.html

这篇博客讲了最小割去解线性规划。

这种思想比较局限，直接能解的问题非常少。

面对复杂的最小割问题时还不如直接想。

我就找到一个这么搞的：

URAL 1833|Hopes of Rowing|最小割

https://blog.csdn.net/huanghongxun/article/details/82943321

但这个题也可以直接想最小割的，比较套路。

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https://wenku.baidu.com/view/8ea84889d4d8d15abe234eb6.html

这篇ppt的意思是网络流搞线性规划，可是说的不详细。

最后的6道题目按它的意思都可以用上面的方法搞出来，就是没有解析。

我发现确实都可以，但是有些题真的不如直接上。