2019集训队作业做题实况[3]（61-66）：
24-2（计数）（19.12.29）：
https://atcoder.jp/contests/agc035/tasks/agc035_f
https://atcoder.jp/contests/agc035/submissions/9203617
对于行i和列j，只有k[i]=j,l[j]=i-1,或k[i]=j-1,l[j]=i会重复。
所以容斥枚举一共有多少对行列是这样重复的即可：
\(Ans=\sum_{k=0}^{min(n,m)}C_n^k*C_m^k*k!*(n+1)^{m-k}*(m+1)^{n-k}*(-1)^k\)
42-1（匹配+构造）（20.2.1）：
https://codeforces.com/contest/547/problem/D
https://codeforces.com/contest/547/submission/69965423
方法1：
首先这是一个二分图，原来的点就是二分图上的边。
如果所有点的度数都是偶数，可以跑若干次欧拉回路。
回路上的边交替染色即可。
一个点是奇数的话，就随便断它的一条边。
之后接回去的时候看看颜色即可，这样显然差不超过1.
方法2：
点还是点。
对于x相同的，若有k个，则连k/2条边，边连接的点互不相同，k奇数的话剩下一个不用管。
y相同的同理。
这样染色，使每条边的两个点的颜色不同即可。
可以证明不会有冲突（奇环），因为走的边一定是x轴和y轴的边交替走，想要回来一定要走偶数条边。
45-1（计数+树形dp）（20.2.6）：
https://codeforces.com/contest/512/problem/D
https://codeforces.com/contest/512/submission/70426270
先考虑哪些点是不合法的：
1.边双里的点
2.边双之间的路径上的点
找到这些点可以通过直接Turpo找。
那么剩下的点显然是个森林，我们把树分成两种：
1.有根树，即这棵树有一个点和不合法的点有连边（不可能有两个这样的点），那么这个点一定是这个树最晚取走的点，以它做根，对于每个子树同样满足这个性质，所以树形dp设\(f[i][j]\)表示i为根的子树里选了j个点的方案数。
转移显然，主要i一定是最后一个点，所以\(f[i][siz[i]]=f[i][siz[i]-1]\)
2.无根树， 就是没有那样的点的树。这个枚举每一个点做根，做那样的dp，把所有结果加起来，注意对每一个大小为x的子树，会被不属于这个子树的点作根时统计到一遍，所以除以(siz-x)，当x=siz时不用除以。
复杂度由树形背包可得是\(O(n^3)\)
39-1(推理讨论+ecgcd+最短路)（20.2.6）
https://codeforces.com/contest/516/problem/E
https://codeforces.com/contest/516/submission/46652574
杂题分享时淘过的，随便丢一篇题解：
https://blog.csdn.net/jokerwyt/article/details/103021688
12-3（动态规划+NTT）（20.2.7）：
https://atcoder.jp/contests/agc021/tasks/agc021_f
https://atcoder.jp/contests/agc021/submissions/9937374
设\(f[i][j]\)表示i行j列，其中i行一定不为空的方案数。
考虑新加一列，有k行在前j列的没有染色，在新加的这列有了染色。
当k=0时，只用考虑原来的j行对这一列的最小最大行影响：
\(f[i][j+1]+=f[i][j]*(1+i+C(i,2))\)
否则，考虑把k行插入原来的j行中，但是新的列的最大最小行还可能是原来的j行，分2*2=4种情况（即上下是否是原来的）可以得到系数
\(f[i+k][j]+=f[i][j]*((C(i+k,k)+C(i+k,k+1)+C(i+k,k+1)+C(i+k,k+2))=C(i+k+2,k+2))\)
最后\(ans=\sum_{i=0}^nC_{n}^i*f[i][m]\)
第二个转移可以NTT优化，时间复杂度：\(O(nm~log~n)\)。
19-2（动态规划+xjb优化）（20.2.17）：
https://codeforces.com/contest/708/problem/E
https://codeforces.com/contest/708/submission/71224703
考虑一行一行的转移，设\(f[i][l][r]\)表示前i行联通，第i行剩[l,r]的概率和。
\(f[i][l][r]=p[l][r]\sum_{[u,v]∩[l,r]≠∅}f[i-1][u][v]\)
\(p[l][r]\)表示一行k轮后剩\([l,r]\)的概率。
设\(v[i]\)表示一行的左边搞了i个概率，
\(v[i]=p^i*(1-p)^{k-i}*C_{k}^i\)。
\(p[l][r]=v[l-1]*v[m-r]\)
直接做\(O(n^5)\)，显然可以前缀和优化。
设\(s\)是\(f[i-1]\)的二维前缀和，那么：
\(f[i][l][r]=p[l][r]*(s[m][m]-s[l-1][l-1]-s[m-r][m-r])\)。
\(-s[m-r][m-r]\)是因为对称性。
发现用到的都是\(s[x][x]\)这样的。
干脆直接维护\(s[x][x]\)吧。
设\(g[i][j]=\sum_{x<=j}\sum_{y<=j}f[i][x][y]\)
\(g[i][j]=g[i][j-1]+\sum_{x<=j}f[i][x][j]\)
\(g[i][j]=g[i][j-1]+\sum_{x<=j}p[x][j]*(s[m][m]-s[x-1][x-1]-s[m-j][m-j])\)
\(g[i][j]=g[i][j-1]+\sum_{x<=j}v[x-1]*v[m-j]*(s[m][m]-s[x-1][x-1]-s[m-j][m-j])\)
从小到大枚举j维护两个东西的和就可以了。
