Comet OJ - Contest #11 E ffort（组合计数+多项式快速幂）

传送门.

题解：

考虑若最后的总伤害数是s，那么就挡板分配一下，方案数是\(C_{s-1}^{n-1}\)。

那么问题在于总伤害数很大，不能一个一个的算。

\(C_{s-1}^{n-1}\)的OGF是\({x^{n-1}\over (1-x)^n}\)

由\(F=FA+R->F={R \over 1-A}\)

得到递推式\(A=1-(1-x)^n\)，前面的项可以用组合数算出。

那么每次就是常系数齐次递推，每次搞的时候取模就好了。

复杂度是\(O(log^2)\)

题解给出了更加巧妙的方法，我们不直接求\(s\)伤害的方案数。

考虑\(f(x)\)表示任意伤害下， 分配给x个人的方案数。

当合并\(f、g\)两堆伤害时时，由于中间可以攃挡板，可以不插，所以就是\(f*g*(1+x)\)。

用NTT卷积，每次算完后只用保留前n项。

直接套快速幂是\(O(log^2)\)的，但是可以用exp优化。

初值利用这个式子就好了\(\sum_{i=y}^xC_{i}^y=C_{x+1}^{y+1}\)。

直到现在我才意识到杨辉三角的一条对角线和一列的求法是一样的，由于翻转一下就好了。

Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <= B; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <  B; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x, B = y; i >= B; i --)
#define ll long long
#define pp printf
#define hh pp("\n")
using namespace std;

const int mo = 998244353;

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll s = 1;
	for(; y; y /= 2, x = x * x % mo)
		if(y & 1) s = s * x % mo;
	return s;
}

typedef vector<ll> V;
#define pb push_back
#define si size()
#define re resize

namespace ntt {
	const int nm = 262144;
	ll w[nm], a[nm], b[nm]; int r[nm];
    void build() {
		for(int i = 1; i < nm; i *= 2) {
			w[i] = 1;
			ll v = ksm(3, (mo - 1) / 2 / i);
			ff(j, 1, i) w[i + j] = w[i + j - 1] * v % mo;
		}
    }
    void dft(ll *a, int n, int f) {
		ff(i, 0, n) {
			r[i] = r[i / 2] / 2 + (i & 1) * (n / 2);
			if(i < r[i]) swap(a[i], a[r[i]]);
		} ll b;
		for(int i = 1; i < n; i *= 2) for(int j = 0; j < n; j += 2 * i) ff(k, 0, i)
			b = a[i + j + k] * w[i + k], a[i + j + k] = (a[j + k] - b) % mo, a[j + k] = (a[j + k] + b) % mo;
		if(f == -1) {
			reverse(a + 1, a + n);
			b = ksm(n, mo - 2);
			ff(i, 0, n) a[i] = (a[i] + mo) * b % mo;
		}
    }
	V operator * (V p, V q) {
		int n0 = p.si + q.si - 1, n = 1;
		while(n < n0) n *= 2;
		ff(i, 0, n) a[i] = b[i] = 0;
		ff(i, 0, p.si) a[i] = p[i];
		ff(i, 0, q.si) b[i] = q[i];
		dft(a, n, 1); dft(b, n, 1);
		ff(i, 0, n) a[i] = a[i] * b[i] % mo;
		dft(a, n, -1);
		p.re(n0);
		ff(i, 0, n0) p[i] = a[i];
		return p;
	}
	void dft(V &p, int f) {
		int n = p.si;
		ff(i, 0, n) a[i] = p[i];
		dft(a, n, f);
		ff(i, 0, n) p[i] = a[i];
	}
}

using ntt :: operator *;
using ntt :: dft;

V qni(V a) {
	V b; b.re(1); b[0] = ksm(a[0], mo - 2);
	for(int n = 2; n < a.si * 2; n *= 2) {
		V c = a; c.re(n); c.re(2 * n); dft(c, 1);
		b.re(2 * n); dft(b, 1);
		ff(i, 0, 2 * n) b[i] = (2 * b[i] - c[i] * b[i] % mo * b[i]) % mo;
		dft(b, -1); b.re(n);
	}
	b.re(a.si); return b;
}

V qd(V a) {
	fo(i, 0, a.si - 2) a[i] = a[i + 1] * (i + 1) % mo;
	a.re(a.si - 1);
	return a;
}
V jf(V a) {
	a.re(a.si + 1);
	fd(i, a.si - 1, 1) a[i] = a[i - 1] * ksm(i, mo - 2) % mo;
	a[0] = 0;
	return a;
}
 
V ln(V a) {
	int n = a.si;
	a = jf(qd(a) * qni(a));
	a.re(n); 
	return a;
}

V exp(V a) {
	V b; b.re(1); b[0] = 1;
	for(int n = 1; n < a.si * 2; n *= 2) {
		b.re(n);
		V c = a; c.re(n);
		V d = ln(b);
		ff(i, 0, n) d[i] -= c[i];
		d = d * b;
		ff(i, 0, n) b[i] = (b[i] - d[i] + mo) % mo;
	}
	b.re(a.si); return b;
}

const int N = 1e5 + 5;

int n, m, a[N], b[N];
ll fac[N], nf[N];

void build(int n) {
	fac[0] = 1;
	fo(i, 1, n) fac[i] = fac[i - 1] * i % mo;
	nf[n] = ksm(fac[n], mo - 2);
	fd(i, n, 1) nf[i - 1] = nf[i] * i % mo;
}

V p;

V mul(V a, V b) {
	a = a * b;
	a.re(m);
	fd(i, m - 1, 1) a[i] = (a[i] + a[i - 1]) % mo;
	return a;
}

V c;

V ksm(V x, int y) {
	if(y == 1) return x;
	ll xc = x[0]; ll nc = ksm(xc, mo - 2);
	ff(i, 0, m) x[i] = x[i] * nc % mo;
	x = ln(x);
	ff(i, 0, m) x[i] = x[i] * y % mo;
   	x = exp(x);
	xc = ksm(xc, y);
	ff(i, 0, m) x[i] = x[i] * xc % mo;
	V d = c;
	ff(i, 0, m) d[i] = d[i] * (y - 1) % mo;
	d = exp(d);
	x = x * d; x.re(m);
	return x;
}

V operator + (V a, V b) {
	if(a.si < b.si) a.re(b.si);
	ff(i, 0, b.si) a[i] = (a[i] + b[i]) % mo;
	return a;
}

V ans;

int main() {
	ntt :: build();
	build(1e5);
	scanf("%d %d", &m, &n);
	c.re(2); c[0] = 1; c[1] = 1;
	c.re(m); c = ln(c);
	fo(i, 1, n) scanf("%d %d", &a[i], &b[i]);
	fo(i, 1, n) {
		p.clear(); p.re(m);
		ll f = 1;
		fo(j, 1, min(b[i], m)) {
			f = f * (b[i] - j + 1) % mo;
			p[j - 1] = f * nf[j] % mo;
		}
		p = ksm(p, a[i]);
		if(i == 1) ans = p; else ans = mul(ans, p);
	}
	ll as = (ans[m - 1] % mo + mo ) % mo;
	pp("%lld\n", as);
}