45th ICPC昆明 C.Cities（区间dp）

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Description

有n个点，每个点有自己的颜色（并且每种颜色出现次数不超过15次），每次操作可以把一段连续且颜色相同的点染成任意一种颜色，求把所有点染成相同颜色的最小操作次数。
$1\le n\le 5000$

Solution

首先我们可以贪心，把连续的一段缩成一个点。

区间$dp$，$dp[l][r]$表示把$[l,r]$这一段染成相同颜色的最小操作次数。
朴素的区间$dp$转移是$n^3$的。
但是这里有一个条件，每种颜色出现次数不超过15次，我们改变状态的定义，$dp[l][r]$表示把$[l,r]$这一段染成与$l$点相同的颜色的最小操作次数，
预处理缩点之后的每个点的下一个相同颜色的点在哪个位置，利用这些点进行状态的转移。
假如与$l$点颜色相同的且在$[l,r]$这一段的一些点是$mid$，那么$dp[l][r]=min(dp[l][r],dp[l][mid-1]+dp[mid][r])$。

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
 
using namespace std;
using ll = long long;
 
void solve() {
    int n; cin >> n;
    vector<int> a(n + 1, -1), nxt(n + 1), pos(n + 1, n + 1);
    vector<vector<int>> dp(n + 2, vector<int> (n + 2, 1 << 29));
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        cin >> a[i];
        if (a[i] == a[i - 1] && i > 1) {
            i --, n --;
        }
    }
     for (int i = n;i > 0;i--) {
         nxt[i] = pos[a[i]];
         pos[a[i]] = i;
         dp[i][i] = 0;
    }
    for (int len = 1;len < n;len ++) {
        for (int l = 1;l + len <= n;l ++) {
            int r = l + len;
            dp[l][r] = min(dp[l + 1][r], dp[l][r - 1]) + 1;
            int mid = nxt[l];
            while (mid <= r) {
                dp[l][r] = min(dp[l][r], dp[l][mid - 1] + dp[mid][r]);
                mid = nxt[mid];
            }
        }
    }
    cout << dp[1][n] << endl;
}
signed main(void) {
	cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr) -> ios::sync_with_stdio(false);
    int t; cin >> t;
    while (t --)
	solve(); 
	return 0;
} 
 

另一种做法：
如果一段区间两个端点的颜色相同，那么我们对这一段区间染色时，相比于两个端点的颜色不同可以少一次染色操作，那么贪心的想，需要最大化区间两个端点颜色相同时的染色次数。

转移不是很彻底的懂，这种做法当作开拓思路了。

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
 
using namespace std;
using ll = long long;
 
void solve() {
    int n; cin >> n;
    vector<int> a(n + 1, -1), nxt(n + 1), pos(n + 1, n + 1);
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int> (n + 1, 0));
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        cin >> a[i];
        if (a[i] == a[i - 1] && i > 1) {
            i --, n --;
        }
    }
     for (int i = n;i > 0;i--) {
         nxt[i] = pos[a[i]];
         pos[a[i]] = i;
    }
    for (int len = 1;len < n;len ++) {
        for (int l = 1;l + len <= n;l ++) {
            int r = l + len;
            dp[l][r] = max(dp[l + 1][r], dp[l][r - 1]);
            int mid = nxt[l];
            while (mid <= r) {
                dp[l][r] = max(dp[l][r], dp[l + 1][mid - 1] + dp[mid][r] + 1);
                mid = nxt[mid];
            }
        }
    }
    cout << n - 1 - dp[1][n] << endl;
}
signed main(void) {
	cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr) -> ios::sync_with_stdio(false);
    int t; cin >> t;
    while (t --)
	solve(); 
	return 0;
}